快速求组合数（最强优化）

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路

简单优化（没有模运算）

当m < n-m 时，把n - m 改为 m,使用下方算法，简单优化

代码如下：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long C(int n, int m){
	if (m<n-m)	m=n-m;
	long long ans=1;
	for (int i=m+1;i<=n;i++) ans *= i;
	for (int i=1;i<=n-m;i++) ans /= i;
	return ans;
}
int main(){
	printf("%lld\n",C(n,m));
	return 0;
}

进阶优化（逆元 - 组合数取模）

问题：求$C_{n}^{m}$%p（经典p=1e9+7）

在$C_{n}^{m}$运算中，取模性质对除数不适用，需要将“除法”转换为“乘法”，才能借助取模的性质在不爆long long的情况下计算组合数。这时候就需要用到“逆元”！

逆元：对于a和p（a和p互素），若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

那这个逆元有什么用呢？试想一下求( $\frac{a}{b}$ )%p，如果你知道b%p的逆元是c，那么就可以转变成( $\frac{a}{b}$ )%p = a*c%p = (a%p)(c%p)%p

那怎么求逆元呢？这时候就要引入强大的费马小定理！

费马小定理：对于a和素数p，满足$a^{p-1}$ %p≡1

接着因为$a^{p-1}$ =$a^{p-2}$ ∗a，所以有$a^{p-2}$∗a%p≡1！对比逆元的定义可得，$a^{p-2}$是a的逆元！

所以问题就转换成求解$a^{p-2}$，即变成求快速幂的问题了（当然这需要满足p为素数）。

快速幂请参考博主的另一篇文章：快速幂算法

现在总结一下求解$C_{n}^{m}$%p的步骤：

1. 通过循环，预先算好所有小于max_number的阶乘（ %p ）的结果，存到fac[max_number]里 ( fac[i] = i ! %p )
2. 求m!%p的逆元（ 即求fac[m]的逆元 ）：根据费马小定理，x%p的逆元为$x^{p-2}$，因此通过快速幂，求解$fac[m]^{p-2}$ %p，记为M
3. 求(n-m)!%p的逆元：同理为求解$fac[n-m]^{p-2}$%p，记为NM
4. $C_{n}^{m}$%p = ( ( fac[n] * M)%p * NM)%p

用C++实现的代码，输入为n,m,p，要求0<=m<=n<=1e6（否则fac存不下），且gcd(p,n!)=1（即互素），输出为Cmn%p

long long fac[MAXN];
long long n,m,p;
//快速幂求x^n%mod 
long long pow_mod(long long x, long long n, long long mod) {
    long long res=1;
    while(n){
        if(n&1)  res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main() {
    while(~scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p)) {        
        //预处理求fac，fac[i]=i!%p
        fac[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {fac[i] = fac[i - 1] * i % p;}
        //组合数 = n!*(m!%p的逆元)*((n-m)!%p的逆元)%p 
        printf("%lld\n", fac[n] * pow_mod(fac[m], p - 2, p) % p * pow_mod(fac[n - m], p - 2, p) % p);
    }
}

参考链接——逆元 - 组合数取模