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05 线性代数【动手学深度学习v2】

P1 线性代数

标量

• 简单操作

• 长度

向量

• 简单操作

  ​ $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ where $\vec{c_{i}} = \vec{a_{i}} + \vec{b_{i}}$

​ $\vec{c} = α \vec{b}$ where $α \vec{b_{i}}$

​ $\vec{c} = sin \vec{a}$ where $\vec{c_{i}} = sin \vec{a_{i}}$

• 长度

​ $|| \vec{a} || ≥ 0$ for all $\vec{a}$

• 点乘

• 正交

矩阵

• 简单操作

​ $C = A + B$ where $C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$

​ $C = α · B$ where $C_{ij} = α B_{ij}$

​ $C = sin A$ where $C_{ij} = sin A_{ij}$

• 乘法（矩阵乘以向量）

​ $c = A b$ where $c_{i} = \sum_{j}^{} A_{i j} b_{j}$

• 乘法（矩阵乘以矩阵）

​ $C = A B$ where $C_{i k} = \sum_{j}^{} A_{i j} B_{j k}$

• 范数

​ $c = A · b$ hence $|| c || ≤ || A || · || b ||$

• 取决于如何衡量 b 和 c 的长度
• 常见范数
• 矩阵范数：最小的满足上面公式的值
• Frobenius范数

• 特征向量和特征值
• 不被矩阵改变方向的向量

• 对称矩阵总是可以找到特征向量

特殊矩阵

• 对称与反对称

​ $A_{i j} = A_{j i}$ and $A_{i j} = -A_{j i}$

• 正定

​ $||x||^{2}=x^{T}x≥0$ generalizes to $x^{T}Ax≥0$

• 正交矩阵
• 所有行都互相正交
• 所有行都有单位长度 $U$ with $\sum_{j}^{} U_{i j}U_{ki}=δ_{ik}$
• 可以写成$UU^{T}=1$
• 置换矩阵

$P$ where $P_{ij}=1$ if and only if $j=\pi (i)$

• 置换矩阵是正交矩阵

P2 线性代数实现

线性代数

标量由只有一个元素的张量表示

import torch

x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])

x + y, x * y, x / y, x**y

(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))

你可以将向量视为标量值组成的列表

x = torch.arange(4)
x

tensor([0, 1, 2, 3])

通过张量的索引来访问任一元素

x[3]

tensor(3)

访问张量的长度

len(x)

4

只有一个轴的张量，形状只有一个元素

x.shape

torch.Size([4])

通过指定两个分量mm和 nn来创建一个形状为m×nm×n的矩阵

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

矩阵的转置

A.T

tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])

对称矩阵（symmetric matrix）$A$等于其转置：$A=A^{⊤}$

B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B

tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])

B == B.T

tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X

tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
         [ 4,  5,  6,  7],
         [ 8,  9, 10, 11]],

        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()
A, A + B

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard product）（数学符号$⊙$）

A * B

tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape

(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]),
 torch.Size([2, 3, 4]))

计算其元素的和

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

表示任意形状张量的元素和

A.shape, A.sum()

(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

A = torch.arange(20 * 2).reshape(2, 5, 4)
A.shape, A.sum()

(torch.Size([2, 5, 4]), tensor(780))

指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

A.sum(axis=[0, 1])

tensor(190.)

一个与求和相关的量是平均值（mean或average）

A.mean(), A.sum() / A.numel()

(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]

(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

计算总和或均值时保持轴数不变

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A

tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])

通过广播将A除以sum_A

A / sum_A

tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

某个轴计算A元素的累积总和

A.cumsum(axis=0)

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

点积是相同位置的按元素乘积的和

y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积

torch.sum(x * y)

tensor(6.)

矩阵向量积$Ax$是一个长度为$m$的列向量，其第$i$个元素是点积${a_{i}}^{⊤}x$

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

我们可以将矩阵-矩阵乘法$AB$看作是简单地执行$m$次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个$n×m$矩阵

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

$L_{2}$范数是向量元素平方和的平方根：

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)

tensor(5.)

$L_{1}$范数，它表示为向量元素的绝对值之和：

torch.abs(u).sum()

tensor(7.)

矩阵 的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

tensor(6.)

P3 按特定轴求和

import torch

a = torch.ones((2, 5, 4))
a.shape

torch.Size([2, 5, 4])

a.sum().shape

torch.Size([])

a.sum(axis = 1).shape

torch.Size([2, 4])

a.sum(axis = 1)

tensor([[5., 5., 5., 5.],
        [5., 5., 5., 5.]])

a.sum(axis = 0).shape

torch.Size([5, 4])

a.sum(axis = [0, 2]).shape

torch.Size([5])

a.sum(axis = 1,keepdims = True).shape

torch.Size([2, 1, 4])

a.sum(axis = [0, 2],keepdims = True).shape

torch.Size([1, 5, 1])