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给你一个 m * n 的矩阵 grid，矩阵中的元素无论是按行还是按列，都以非递增顺序排列。请你统计并返回 grid 中负数的数目。

示例 1：

输入：grid = [[4,3,2,-1],[3,2,1,-1],[1,1,-1,-2],[-1,-1,-2,-3]]
输出：8
解释：矩阵中共有 8 个负数。

示例 2：

输入：grid = [[3,2],[1,0]]
输出：0

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 100
-100 <= grid[i][j] <= 100

二分查找

注意到题目中给了一个性质，即矩阵中的元素无论是按行还是按列，都以非递增顺序排列，可以考虑把这个性质利用起来优化暴力。已知这个性质告诉了我们每一行的数都是有序的，所以我们通过二分查找可以找到每一行中从前往后的第一个负数，那么这个位置之后到这一行的末尾里所有的数必然是负数了，可以直接统计。

遍历矩阵的每一行。
二分查找到该行从前往后的第一个负数，考虑第 $i$ 行，我们记这个位置为 $pos_i$ ，那么第 $i$ 行 $[pos_i,m-1]$ 中的所有数都是负数，所以这一行对答案的贡献就是 $m-1-pos_i+1=m-pos_i$ 。
最后的答案就是 $\sum_{i=0}^{n-1}(m-pos_i)$ 。

var countNegatives = function(grid) {
    // 简单二分 只要是递增或递减 查找的 基本都可以使用二分
    let count=0;
    for(let i=0;i<grid.length;i++){
        let start=0,end=grid[i].length-1
        while(start <= end){
            let mid = Math.floor((start+end)/2)
            if(grid[i][mid] <0){
                if(mid===0){
                    count+=grid[i].length
                    break;
                }else{
                    if(grid[i][mid-1] <0){
                        end=mid-1
                    }else{
                         count+=grid[i].length-mid
                         break;
                    }
                }
            }else{
                start=mid+1
            }
        }

    }
    return count
};

图片.png

分治

方法二其实只利用了一部分的性质，即每一行是非递增的，但其实整个矩阵是每行每列均非递增，这说明了一个更重要的性质：每一行从前往后第一个负数的位置是不断递减的，即我们设第 $i$ 行的第一个负数的位置为 $pos_i$ ，不失一般性，我们把一行全是正数的 $pos$ 设为 $m$ ，则

$pos0>=pos1>=pos2>=...>=posn−1$

所以我们可以依此设计一个分治算法。

我们设计一个函数 $solve(l,r,L,R)$ 表示我们在统计 $[l,r]$ 行的答案，第 $[l,r]$ 行 $pos$ 的位置在 $[L,R]$ 列中，计算 $[l,r]$ 的中间行第 $mid$ 行的的 $pos_{mid}$ ，算完以后根据之前的方法计算这一行对答案的贡献。然后根据我们之前发现的性质，可以知道 $[l,mid-1]$ 中所有行的 $pos$ 是大于等于 $pos_{mid}$ ， $[mid+1,r]$ 中所有行的 $pos$ 值是小于等于 $pos_{mid}$ 的，所以可以分成两部分递归下去，即：

$solve(l,mid−1,posmid,R)$

和

$solve(mid+1,r,L,posmid)$

所以答案就是 $m-pos_{mid}+solve(l,mid-1,pos_{mid},R)+solve(mid+1,r,L,pos_{mid})$ 。

var countNegatives = function (grid) {
    return solve(0, grid.length - 1, 0, grid[0].length - 1, grid);

};
var solve = function (l, r, L, R, grid) {
    if (l > r) return 0
    let mid = l + ((r - l) >> 1), pos = -1
    for (let i = L; i <= R; ++i) {
        if (grid[mid][i] < 0) {
            pos = i;
            break;
        }
    }
    let ans=0;
    if (~pos){
            ans+=grid[0].length-pos;
            ans+=solve(l,mid-1,pos,R,grid);
            ans+=solve(mid+1,r,L,pos,grid);
        }
        else{// 说明[l..o-1]不会有负数，不用再去递归
            ans+=solve(mid+1,r,L,R,grid);
        }
        return ans;
}

图片.png