本文已参与[新人创作礼]活动，一起开启掘金创作之路
归并排序详细代码及思路可见我之前的文章归并排序
今天讲讲，为什么归并排序的时间复杂度是θ(nlgn)
我们知道归并排序是利用 递归函数 进行计算的一种分治排序算法，因此对其时间复杂度也可以用递归的方式进行计算。
首先我们要知道分治算法的流程： 分解、计算（将分解后的进行排序）、合并
分解： 假设分解成a个问题需要的运行时间为D(n)
计算： 假设 T(n) 是问题规模为n的运行时间，我们将其分解成a个子问题，假设此时每个子问题的规模是原来的1/b （对于归并排序来说，此时a=b=2） ，求解这a个子问题需要 aT(n/b)的运行时间
合并： 假设合并分解后的解需要的时间为C(n)
特殊情况，当n的规模足够小的时候，这里假设一个c为界限，当n≤c的时候，求解需要的时间为常量，记作θ(1)
因此分治算法的复杂度为
将上述思想带入归并排序
void merge_sort(int *data, int start, int end, int *result)
{
if (start < end)
{
int mid = start + (end-start) / 2; //分解
merge_sort(data, start, mid, result);
merge_sort(data, mid + 1, end, result);
merge(data, start, mid, end, result); //合并
}
}
分解： 分解仅仅计算中间元素的位置，如上代码的“//分解”，因此运算时间为常量及θ(1)
计算： 对于归并排序来说，a=b=2
合并： 如上面代码的“//合并”，合并的时间取决于n，运算时间为常量及θ(n)
特殊情况 当n=1的时候，仅需要经过一次运算，因此c=1
归并排序的运行时间递归式为：
为方便计算，我们令 θ(1)=c，则θ(n)=cn，运行时间递归式转化为：
现在这里暂时不用“主定理”进行计算，观察下列分解方式可知道 2T(n/2) = cnlgn
二叉树的深度 L = lgn，每层的运行时间为 cn
lg在此处所有的均为log2
因此 n>1 时，T(n) = cnlgn+cn，将 θ(n)=cn 带入，得到 T(n) = θ(n)lgn+θ(n)=(lgn + 1)θ(n)，因为1的影响小，因此忽略1的代价，最终得到我们常见的 T(n) =θ(nlgn)
留一道课后习题证明你学会了 我也太好了吧！
Q： 一个已经排好序的数组A，以及一个查找对象v，利用二分法查找在数组A中是否存在v，利用递归思想，并求出其时间复杂度，下期给答案
