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质因数分解

质因数分解的概念

$一个数A=p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \cdot \cdot p_n^{k_n}， 其中p_i为质数恒成立$ 也就是说任意一个数都可以被分解为若干个质数的整数次幂相乘，根据这个特征我们可以用代码实现质因数的分解

代码

下面我们以对200以内的数进行质因数分解以及验证为例给出实现代码

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;
bool flag[205];
int prim_list[205];
int pl = 0;
int P[205];
int K[205];
int kl=0;

void prim(int end){
	for(int i=2; i <= end; i++){
		if(!flag[i]){
			prim_list[pl++]=i;
			for(int j=2; j* i <= end; j++){
				flag[j*i] = true;
			}
		}
	}
} 

void prim_divid(int a){
	for(int i=0; i < pl; i++){
		int cnt=0;
		while(a % prim_list[i]==0){
			cnt++;
			a /= prim_list[i];
		}
		if(cnt){
			P[kl] = prim_list[i];
			K[kl] = cnt;
			kl++;	
		}
	}
}

int qpow(int a, int p){
	int ans=1;
	while(p){
		if(p & 1){
			ans *= a;
		}
		a *= a;
		p >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	prim(200);
	for(int a=1; a <= 100; a++){
		kl=0;
		prim_divid(a);
		cout<<a<<"的质因数分解结果：";
		for(int i=0; i < kl; i++){
			if(i){
				cout<<"*";
			}
			cout<<P[i]<<"^"<<K[i];
		}
		int ans = 1;
		for(int i=0; i < kl; i++){
			ans *= qpow(P[i], K[i]);
		}	
		cout<<"    验证结果：" <<ans<<endl;
	}

	return 0;
} 

代码解释

这里我们通过线性筛来求质数，并且将分解出来的p和k保存在数组中以便于后续的验证，验证时我们采用快速幂的方式

线性筛和快速幂的相关知识可以查看以下文章

使用线性筛快速求取素数序列 费马小定理以及快速幂应用

约数

根据约数定理可得： $A的约数个数为：\prod_{i=0}^n(k_i+1)$ 在进行质因数分解之后根据ki即可求的约数，代码为

int ans=1;
for(int i=0; i < kl; i++){
	ans *= (K[i]+1)
}
cout<<ans<<endl;