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题目

780.到达终点

题目大意

给定四个整数 sx , sy ，tx 和 ty，如果通过一系列的转换可以从起点 (sx, sy) 到达终点 (tx, ty)，则返回 true，否则返回 false。

从点 (x, y) 可以转换到 (x, x+y) 或者 (x+y, y)。

样例

示例 1:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 3, ty = 5
输出: true
解释:
可以通过以下一系列转换从起点转换到终点：
(1, 1) -> (1, 2)
(1, 2) -> (3, 2)
(3, 2) -> (3, 5)

示例 2:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 2, ty = 2 
输出: false

示例 3:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 1, ty = 1 
输出: true

数据规模

提示:

• $1 <= sx, sy, tx, ty <= 109$

思路

考虑终点状态$(tx,ty)$的上一个状态：$(tx-ty,ty)$或者$(tx,ty-tx)$，因为$(sx,sy)(sx,sy\geq 1 )$，所以必须分别保证$tx>ty$或者$ty>tx$。那么对于$tx,ty$之间的关系，考虑三种情况：

• $tx==ty$：则必然上一状态会有$0$状态，所以此时就是起点状态（即不存在上一状态），那么要想满足条件，必须有$tx==sx\&\&ty==sy$；
• $tx>ty$：则上一状态为$(tx-ty,ty)$
• $tx<ty$：则上一状态为$(tx,ty-tx)$

所以从终点状态进行回推状态是固定的，而由起点状态往后推则是不固定的。

由于每一步反向操作一定是将$tx$和$ty$中的较大的值减小，比如：$tx>ty$可以直接把$tx$更新到比$ty$小，即$tx=tx\%ty$；：$tx<ty$可以直接把$ty$更新到比$tx$小，即$ty=ty\%tx$。

当反向操作的条件不成立时，根据$tx$和$ty$的不同情况分别判断是否可以从起点转换到终点：

• $tx==sx\&\&ty==sy$：满足条件；
• $tx==sx\&\&ty\not=sy$：只有当$\textit{ty} > \textit{sy}$且 $(\textit{ty} - \textit{sy}) \bmod \textit{tx} = 0$时可以从起点转换到终点。
• $ty==sy\&\&tx\not=sx$：只有当$\textit{tx} > \textit{sx}$且 $(\textit{tx} - \textit{sx}) \bmod \textit{ty} = 0$时可以从起点转换到终点。
• 其余的都不满足条件。

代码

// short int long float double bool char string void
// array vector stack queue auto const operator
// class public private static friend extern 
// sizeof new delete return cout cin memset malloc
// relloc size length memset malloc relloc size length
// for while if else switch case continue break system
// endl reverse sort swap substr begin end iterator
// namespace include define NULL nullptr exit equals 
// index col row arr err left right ans res vec que sta
// state flag ch str max min default charray std
// maxn minn INT_MAX INT_MIN push_back insert
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int>PII;
typedef pair<int, string>PIS;
const int maxn=3e4+50;//注意修改大小
long long read(){long long x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;}
ll qpow(ll x,ll q,ll Mod){ll ans=1;while(q){if(q&1)ans=ans*x%Mod;q>>=1;x=(x*x)%Mod;}return ans%Mod;}
/*
// Definition for a Node.
class Node {
public:
    int val;
    vector<Node*> children;

    Node() {}

    Node(int _val) {
        val = _val;
    }

    Node(int _val, vector<Node*> _children) {
        val = _val;
        children = _children;
    }
};
*/

class Solution {
public:
    bool reachingPoints(int sx, int sy, int tx, int ty) {
        while(tx>sx&&ty>sy&&tx!=ty){
            if(tx>ty){
                tx%=ty;
            }
            else{
                ty%=tx;
            }
        }
        if (sx == tx && sy == ty){
            return 1;
        }
        if (tx == sx)
        {
            if (ty == sy || (ty - sy) % tx == 0)
                return 1;
        }
        if (ty == sy)
        {
            if (tx == sx || (tx - sx) % ty == 0)
                return 1;
        }
        return 0;
    }
};