一起养成写作习惯！这是我参与「掘金日新计划 · 4 月更文挑战」的第9天，点击查看活动详情。

拉伸一个三维向量

问题的数学描述

我们有一个三维向量:$\left(\begin{array}{cc} x\\ y \\ z\end{array}\right)$, 我们现在想要：

• $x$ 变成 $a x$
• $y$ 变成 $b x$
• $z$ 变成 $c x$

问题就是：找到一个矩阵 T 使得： T * $\left(\begin{array}{cc} x\\ y \\ z\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} ax\\ by \\ cz\end{array}\right)$。

得到拉伸矩阵 T

也就是说，不管$x ，y，z$取什么值，这个等式都要成立才行。

我们知道，T 是一个 $3 * 3$ 的矩阵，也就是有9个未知数。

这个解貌似很难得到。

但是矩阵理论里有一个额外的定理：

如果你确定 T 是一个线性变换 ， 那么：

• T 的第一列 就等于： T * $\left(\begin{array}{cc} 1\\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} a\\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

• T 的第二列 就等于： T * $\left(\begin{array}{cc} 0\\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} 0\\ b \\ 0\end{array}\right)$

• T 的第三列 就等于： T * $\left(\begin{array}{cc} 0\\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} 0\\ 0 \\ c\end{array}\right)$

至此,就完全得出来了：

$T = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$。

即：

$\begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} * \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} ax\\ by \\ cz\end{array}\right)$

不信试验一下，随便取一个 $\left(\begin{array}{cc} x\\ y \\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2\\ 3 \\ 4\end{array}\right)$。

经过矩阵乘法口算：$T = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ * $\left(\begin{array}{cc} 2\\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} 2a\\ 3b \\ 4c\end{array}\right)$。验证完毕。

注意：拉伸变换是一个线性变换这件事，你得提前知道。

简介线性变换

先回顾一下，向量数乘的概念，就是把向量的所有元素全部乘以一个数值k。

比如说：

$k* \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\ z\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc} kx\\ ky \\ kz\end{array}\right)$

满足数乘性质

现在假设一个变换T，任意一个向量 $\mathrm {x}$, 下面给出线性变换的第一个基本要求：

• $\mathrm {x}$，先数乘$k$，再经过$T$的变换，得到结果1
• $\mathrm {x}$，先经过$T$的变换， 再数乘 $k$, 得到结果2

如果 结果1 = 结果2, 则满足这个要求。

用拉伸来讲解一下：

就是说一个向量，一个拉伸矩阵T，有

• 先拉伸T，再数乘k， 得到结果1
• 先数乘k，再拉伸T， 得到结果2

此时，这两个结果，无论对于什么向量，都是满足的。

满足加法性质

我们知道两个向量加法很简单：

$\left(\begin{array}{cc} x_1\\ y_1 \\ z_1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} x_2\\ y_2 \\ z_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x_1 + x_2\\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2\end{array}\right)$

假设一个变换T，线性变换的加法性质，也是两个过程，结果对比一致：

• 两个任意向量先加起来，在经过T，得到结果1
• 两个向量先各自经过T，再加起来，得到结果2

此时要求 结果1 = 结果2。

我们可以根据以上，两个简单的性质，来判断一个变换是否是线性变换。