【数据结构】二叉树的概念与介绍 | 堆的概念与性质一起养成写作习惯！这是我参与「掘金日新计划 · 4 月更文挑战」的

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前言：

在上一章中我们正式开启了对数据结构中树的讲解，介绍了树的基础。本章我们将学习二叉树的概念，介绍满二叉树和完全二叉树的定义，并对二叉树的基本性质进行一个简单的介绍。本章附带课后练习。

0x00 概念

📚 定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。

📜 一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成

② 或者为空

🔺 观察上图我们可以得出如下结论：

① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

📌 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

0x01 满二叉树

📚 定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

📜 换言之，如果一个二叉树的层数为，且节点总数是 2^h - 1 ，则他就是一个满二叉树。

🔺 计算公式：

① 已知层数求总数： N = 2^h-1

② 已知总数求层数： h = log_2(N+1)

❓ 十亿个节点，满二叉树是多少层？

💡 2^3^0 ≈ 10亿多

0x02 完全二叉树

📚 定义：对于深度为的，有个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为的满二叉树中编号从 1 至的结点一一对应时称之为完全二叉树。

📜 前 h - 1 层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

📚 常识：

① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

② 高度为的完全二叉树节点范围是 $[ 2^{h-1} - 1 + 1, 2^{h} - 1 ]$

0x03 二叉树的性质

📚 四点规则：

① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第层上最多有 $2^{(i-1)}$ 个节点。

② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为的二叉树最大节点数是 2^h-1 .

③ 对任何一颗二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为 n_0 ，度为 2 的分支节点个数为 n_2 ，则有 n_0 = n_2 + 1 。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。

④ 若规定根节点的层数为 1 ，具有个节点的满二叉树的深度 K = log_2 (n+1) （log是以2为底，n+1的对数）。

📚 对于有个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 parent 的节点有：

（非完全二叉树，也可以用数组存放，但会浪费很多空间）

假设 parent 是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：

① 求左孩子： leftChild = parent * 2 + 1

② 求右孩子： rightChild = parent*2+2

③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）：

$parent = \frac{child-1}{2}$

④ 判断是否有左孩子： $2*parent+1\geq n$

⑤ 判断是否由右孩子： $2*parent+2 \geq n$

💭

PS：

二叉树不一定要标准，比如这个其实也是二叉树：

课后练习：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A. 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A. n

B. n+1

C. n-1

D. n/2

3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）

A. 11

B. 10

C. 8

D. 12

5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A. 383

B. 384

C. 385

D. 386

二、堆的概念与性质

0x00 堆的概念

**【百度百科】**堆（Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

📚 若有一个关键码的集合 $K= \left { k_0,k_1,k_2,...,k_{n-1} \right }$ ，堆分为大堆和小堆。将其所有元素按完全二叉树的顺序存储在一个数组中：

① 如满足 $K_i \leq K_{2*i+1}$ 且 $K_i \leq K_{2*i+2}$ i = 0, 1,2... 则称为小堆。

② 如满足 $K_i \geq K_{2*i+1}$ 且 $K_i \geqslant K_{2*i+2}$ i = 0, 1,2... ，则称为大堆。

我们将根节点最大的堆称作最大堆（即大根堆），根节点最小的堆称作最小堆（即小根堆）。

🔺 综上所述：

① 大堆：树中任何一棵树及子树中，父亲的值都大于等于孩子（ $parent \geqslant child$ ）

② 小堆：树中任何一颗树及子树中，父亲的值都小于等于孩子（ $parent \leqslant child$ ）

0x01 堆的性质

① 堆总是一棵完全二叉树。

② 堆中的某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

0x02 堆的作用

① 堆排序

② 解决 $TopK$ 问题，在个数中找出最大的前个或找出最小的个

……

三、堆的定义

所有的数组都可以表示成完全二叉树，但是它不一定是堆。大堆：树中所有父亲都大于等于孩子小堆：树中所有父亲都小于等于孩子。下面我们将要实现的是大堆。

0x00 数组堆

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap {
    HPDataType* array;  //指向动态开辟的数组
    int size;           //有效数据的个数
    int capacity;       //容量空间的大小
} HP;

0x01 接口函数

📚 这是需要实现几个接口函数：

/* 堆的初始化 */
void HeapInit(HP* php);

/* 堆的销毁 */
void HeapDestroy(HP* php);

/* 堆的打印 */
void HeapPrint(HP* php);

/* 判断堆是否为空 */
bool HeapIfEmpty(HP* hp);

/* 堆的插入 */
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
    /* 检查容量 */
    void HeapCheckCapacity(HP* php);
        /* 交换函数 */
        void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);
    /* 大根堆上调 */ 
    void BigAdjustUp(int* arr, int child);
    /* 小根堆上调 */ 
    void SmallAdjustUp(int* arr, int child);

/* 堆的删除 */
void HeapPop(HP* php);
    /* 小根堆下调*/ 
    void SmallAdjustDown(int* arr, int n, int parent);
    /* 大根堆下调 */
    void BigAdjustDown(int* arr, int n, int parent);

/* 返回堆顶数据*/
HPDataType HeapTop(HP* php);

/* 统计堆的个数 */
int HeapSize(HP* php);

本章完。