模型：
一个较大的平面空间里，面积为S，相对均匀的随机分布着边长为1的正方形。
其分布密度为m【即平均单位面积有m个小正方形】。
现需用程序检测这些小正方形两两碰撞的次数。
方案1：直接小正方形两两判断碰撞。
则检测次数约为：
(Sm) * (Sm-1) / 2
单位面积的检测次数约为：
m * (S*m -1) /2
从这里可以看出，按此方法，S越大，单位面积的检测次数越多。
故尝试优化：优化方案：细分成较小区域
方案2：将其细分成面积为 x*x 的方形区域【共 S/x^2 个方形区域】。
先小正方形与方形区域碰撞，与同一区域产生碰撞的小正方形，再两两检测碰撞。【需考虑由于小正方形与多个区域碰撞的可能】
故检测次数为：
A 小正方形与区域碰碰撞检测：(Sm) * (S/x^2) ，事实上区域是规律分布，分区可以优化至约 Sm*(x+1)^2*x^-2 次检测。
B 与每个小区域相关的正方形数目：(x+1)^2m，这些两两碰撞检测次数： (x+1)^2m * ((x+1)^2*m-1) / 2
C 所以总的检测次数为：A + B * (S/x^2)
D 得到单位面积的检测次数为 m*(x+1)^2x^-2 + (x+1)^2m * ((x+1)^2*m-1) * x^-2 / 2
= m*(x+1)^{2} * (x^{-2}+((x+1)^{2}*m-1)*x^{-2}/2)
= m*(x+1)^{2} * ( m/2 + mx^{-1} + (1+m)/2x^{-2})
求导得： m(x+1)(2*( m/2 + mx^{-1} + (1+m)/2x^{-2}) + (x+1) * ( -m*x^{-2} - (1+m)*x^{-3}))
导数为0时是极值。其中一个根是-1，求正半轴上的根，即解方程：
(2*( m/2 + mx^{-1} + (1+m)/2x^{-2}) + (x+1) * ( -m*x^{-2} - (1+m)*x^{-3})) = 0
即：
m + (2m-m-m-1) *x^{-1} + (1+m -1-m -m)*x^{-2} + (-m-1)*x^{-3} = 0
即：
m+mx^{-1}-mx^{-2}+(-m-1)*x^{-3} = 0
即：
x^{3} + x^{2} -x -1-1/m = 0;
即： (x+1/3)^{3} - 4/3*(x+1/3) -1/m-2/3 = 0;
此为典型 x^3 + p*x + q = 0 式。
可用以下方法求实根：
(-q/2+((q/2)^{2}- (-p/3)^{3})^{0.5})^{1/3} + (-(q/2+((q/2)^{2}-(-p/3)^{3})^{0.5}))^{1/3} - 1/3
其中:
p = (-4/3)
(-1/m-2/3)
得：
(-(-1/m-2/3)/2+(((-1/m-2/3)/2)^{2}- (-(-4/3)/3)^{3})^{0.5})^{1/3} + (-((-1/m-2/3)/2+(((-1/m-2/3)/2)^{2}-(-(-4/3)/3)^{3})^{0.5}))^{1/3} - 1/3
以上过程，部分曲线如下：
最佳分区宽度，与小方框的密度曲线如下：【x轴代表方框密度，Y轴代表最佳分区宽度】
y = (-(-1/x-2/3)/2+(((-1/x-2/3)/2)^{2}- (-(-4/3)/3)^{3})^{0.5})^{1/3} + (-((-1/x-2/3)/2+(((-1/x-2/3)/2)^{2}-(-(-4/3)/3)^{3})^{0.5}))^{1/3} - 1/3
对应Javascript函数：
function getBestSize(m){
var p = -4/3;
var q = -1/m-2/3;
var ret = Math.pow(-q/2+Math.pow(Math.pow(q/2,2)- Math.pow(-p/3,3),0.5),1/3)
+ Math.pow(-(q/2+Math.pow(Math.pow(q/2,2)-Math.pow(-p/3,3),0.5)),1/3);
return ret-1/3;
}
getBestSize(0.01)
例：
getBestSize(0.01) = 4.414
getBestSize(0.1) = 2.069
getBestSize(1) = 1.218
getBestSize(2) = 1.127
getBestSize(10) = 1.042
getBestSize(100) = 1.021
getBestSize(1000) = 1.018
待办项：
待编码验证。。
