题目

思路

分组背包，每一类物品都能拿的个数都不尽相同，这里有的物品还有无限个，但是我们可以通过一个背包全部塞满这一类物品，看能塞多少个，从而认为这个物品就只有这么多个。完成这个步骤后，其实题目就变成了多重背包。下一步我们需要做的就是将多重背包转换成01背包。这里说明一个可以极大降低用时的优化方法。任何一个自然数都可以由1，2，4，8...等2的次方数和一个数构成。比如说9，就可以分成1，2，4，2， 1，2，4都是2的次方，最后一个2，是9减去1，2，4所剩余的数。再举个例子，就是19，可以分成1，2，4，8，4，最后的4也是剩下来的数字。而每一类物品都可以这样去分，假设一个价值为4的物品体积是3，它共有8个，我们就可以利用上述所说的方法去将它化为01背包，8个这样的物品可以分为1个这样物品和在一起，2个这样物品合在一起，4个这样物品合在一起，2个这样物品合在一起，这样就有了四个全新物品。价值为4，体积3；价值为8，体积6；价值为16，体积12；价值为8，体积为6。这样做的理由是什么呢？8个这样的物体，我们可以取8种不同情况，第一种就是取一个，那我们直接取上面所化的四个全新物品中的价值为4，体积为3；第二种取两个，就取价值为8，体积为6；第三种取三个，就取价值为8，体积为6，价值为4，体积为3。剩下的五种情况都是可以用上述四个全新物品来构成的。现在多重背包又转换成了01背包，最后按照01背包的做法就可完成这道题目了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int w[2020],v[2020],s[2020];
int w1[1000010],v1[1000010];
int dp[2020];
int main()
{
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++){//化为多重背包
    cin>>w[i]>>v[i]>>s[i];
    if(s[i]==0){
      s[i]=m/w[i];
    }
  }
  int cnt=0;
  int j=1;
  for(int i=1;i<=n;i++){//化为01背包
      j=1;
    for(int k=1;j<=s[i];j=1<<k,k++){
       w1[++cnt]=w[i]*j;
       v1[cnt]=v[i]*j;
       s[i]=s[i]-j;
    }
    if(s[i]){
      w1[++cnt]=w[i]*s[i];
      v1[cnt]=v[i]*s[i];
    }
  }
  for(int i=1;i<=cnt;i++){
    for(int k=m;k>=w1[i];k--){//必须从后往前遍历，不然就不是01背包了，因为从前往后遍历会多次取一个只能取一次的物品
      dp[k]=max(dp[k-w1[i]]+v1[i],dp[k]);
    }          
  }
  cout<<dp[m];
  return 0;
}

蓝桥杯刷题——分组背包（动态规划）

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