前端算法第一五零期-第 k 个缺失的正整数

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给你一个 严格升序排列 的正整数数组 arr 和一个整数 k 。

请你找到这个数组里第 k 个缺失的正整数。

示例 1：

输入：arr = [2,3,4,7,11], k = 5
输出：9
解释：缺失的正整数包括 [1,5,6,8,9,10,12,13,...] 。第 5 个缺失的正整数为 9 。

示例 2：

输入：arr = [1,2,3,4], k = 2
输出：6
解释：缺失的正整数包括 [5,6,7,...] 。第 2 个缺失的正整数为 6 。

提示：

• 1 <= arr.length <= 1000
• 1 <= arr[i] <= 1000
• 1 <= k <= 1000
• 对于所有 1 <= i < j <= arr.length 的 i 和 j 满足 arr[i] < arr[j]

二分查找

对于每个元素 $a_i$，我们都可以唯一确定到第 i 个元素为止缺失的元素数量为 $a_i - i - 1$ ，例如：

我们发现 $p_i$ 是随 i 非严格递增的，于是可以使用二分查找解决这个问题。我们只要找到一个 i 使得 $p_{i - 1} < k \leq p_{i}$，就可以确定缺失的第 k 个数为 $k - p_{i - 1} + a_{i - 1}$。也就是说，我们要找到第一个大于等于 k 的 $p_i$。

在实现的时候，我们要注意两个边界的处理：

• 当 $a_0 > k$ 时，最终 $i = 0$，找不到 $i - 1$，所以提前判断是否 $a_0 > k$，如果是，则直接返回 $k$。
• 当最后一个元素对应的缺失个数 $p_{n - 1} < k$ 时，我们并不能找到第一个大于等于 $k$ 的 $p_i$，为了解决这个问题，可以在 $a$ 序列的最后加入一个虚拟的值，这个值的大小为一个不会出现的非常大的数，这样就可以保证一定能找到一个大于等于 $k$ 的 $p_i$。

var findKthPositive = function(arr, k) {
    if (arr[0] > k) {
        return k;
    }

    let l = 0, r = arr.length;
    while (l < r) {
        const mid = Math.floor((l + r) / 2);
        let x = mid < arr.length ? arr[mid] : 2000000;
        if (x - mid - 1 >= k) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }

    return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1];
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$ ，其中 $n$ 是数组 $\textit{arr}$ 的长度。即二分查找的时间复杂度。
• 空间复杂度：$O(1)$ 。