本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

1.并行与并发

1.并行（Parallelism）进程：有两个进程P、Q，他们在系统中的执行顺序为PQPPQP，PPPQQP，QPQQPP等多种可能，这就叫做并行进程。用P||Q表示P和Q为一组并行进程。

2.并发（Concurrency）进程：有两个进程P、Q，他们虽处在统一系统中，但他们可以同时执行，不分先后，这就叫做并发进程。也可以类似的看作两个路口的红绿灯系统，他们都属于交通系统，同一时间都在工作，但他们之间的运作不分先后，互不干扰。用P|||Q表示P和Q为一组并发进程。

2.交错的$TS$（Interleaving of Transition Systems）

1.$TS$的定义$TS_{i}=(S_{i},Act_{i},\to_{i},I_{i},AP_{i},L_{i}),i=1,2$

2.$TS$并发的表达式：$TS_{1}$|||$TS_{2}=(S_{1} \times S_{2},Act_{1} \cup Act_{2} ,\to,I_{1} \times I_{2},AP_{1} \cup AP_{2},L)$ 其中，转移关系$\to$定义规则为： $\tfrac {S_{1} \overset{\alpha }{\rightarrow_{1}}{S_{1}'}} {\langle S_{1},S_{2} \rangle \overset{\alpha }{\rightarrow}\langle {S_{1}}',S_{2} \rangle }$ 和 $\tfrac {S_{2} \overset{\alpha }{\rightarrow_{2}}{S_{2}'}} {\langle S_{1},S_{2} \rangle \overset{\alpha }{\rightarrow}\langle S_{1},{S_{2}}' \rangle }$

标签函数$L$定义规则为：$L(\langle s_{1},s_{2} \rangle) = L(S_{1} )\cup L(S_{2})$

3.范例：

• 活动$\alpha$表示$x:=x+1$ 活动$\beta$表示$y:=y-2$ 初始条件：$x=0,y=7$ 那么$\alpha ||| \beta$的过程如图所示： （右图表示从初始状态开始，每次任选一个活动执行，活动$\alpha$和$\beta$各执行一次）
• 但如果两个活动共享一个变量，对同一个变量进行修改，则可能会导致错误情况，比如： 活动$\alpha$表示$x:=2\cdot x$ 活动$\beta$表示$x:=x+1$ 初始条件：$x=3$ 那么$\alpha ||| \beta$的过程如图所示： （此时用TS建立的模型会导致最终共享变量的结果出现矛盾：在同一状态上的共享变量取值不同，且执行结果也不正确）

3.交错的$PG$（Interleaving of Program Graphs）

1.定义：$PG_{i} = (Loc_{i}, Act_{i},Effect_{i}, \hookrightarrow_{i}, Loc_{0,i},g_{0,i}),i=1,2$，是变量$Var_{i}$上的两个PG，则在$Var_{1} \cup Var_{2}$上，有$PG_{1}|||PG_{2}=(Loc_{1} \times Loc_{2},Act_{1} \uplus Act_{2},Effect, \hookrightarrow_, Loc_{0,1}, Loc_{0,2},g_{0,1} \wedge g_{0,2})$

• 转移关系$\hookrightarrow$定义规则为： $\tfrac

{l_{1} \xhookrightarrow[]{g : \alpha }{1}{l{1}'}} {\langle l_{1},l_{2} \rangle \xhookrightarrow[]{g : \alpha }\langle {l_{1}}',l_{2} \rangle }$</font> 和 <font size =6>$\tfrac {l_{2} \xhookrightarrow[]{g : \alpha}{2}{l{2}'}} {\langle l_{1},l_{2} \rangle \xhookrightarrow[] {g : \alpha }\langle l_{1},{l_{2}}' \rangle }$</font>$\quad$表示满足哪个$PG$转移的条件，就引出一条向那个位置转移的关系。

• 影响集合$Effect$定义规则为：$Effect(\alpha,\eta ) = Effect_{i}(\alpha,\eta ) \ \ if \ \alpha \in Act_{i}$ $\quad$ 表示新的$Effect$表取自之前的两个$Effect$表，当前转移上执行的动作$\alpha$是哪个PG的动作（$Act_i$）中的，就使用相应的之前表（$Effect_i$）中的动作$\alpha$对赋值$\eta$的变换即可。

2.范例1：$x=x+1|||x:=2\cdot x$

• PG建模
• 模型交错
• 将交错的PG模型转换为TS模型 此时，得到的是两进程正确进行交错的结果，最终变量的取值取决于两段临界区代码的执行次序。

3.带互斥信号量的程序建模

• 定义：有一个共享变量y，初始值为1；当y的值为1的时候，互斥信号量是自由的，可以占用和访问，当y的值为0的时候，互斥信号量是被锁死的，不可以占用和访问。
• 范例： 刚开始，$PG_1$和$PG_2$均处于非临界区（$noncrit_i$），接着，会进入等待区；在等待区，会判断是否满足条件：$y>0$，如果条件满足，那么会执行$y:=y-1$，对临界区进行加锁，表示临界区正在使用，其他PG不可进入临界区，然后该PG进入临界区，执行相应的操作；在临界区执行完操作后，执行$y:=y+1$，对临界区进行解锁，回到非临界区，其他PG可以进入临界区。 $PG_1|||PG_2$的结果 将结果转换为TS模型 $n_1$和$n_2$表示非临界区 $w_1$和$w_2$表示等待区 $c_1$和$c_2$表示临界区资源，他们不会同时出现在同一个结点上，因此避免了临界区资源的冲突问题。

4.彼得森进程互斥（Peterson’s Mutual exclusion）算法

• 共享变量：$b_1,b_2,x,$
• 初始条件：$b_1=b_2=false$ 进程$P_1$：

loop forever 
... (*noncritical actions*)
 <b1 := true; x := 2;> 
 wait until (x = 1 ∨ ¬b2) 
 do critical section od 
 b1 := false 
 ... (*noncritical actions*)
 end loop

进程$P_2$：

loop forever 
... (*noncritical actions*)
 <b2 := true; x := 1;> 
 wait until (x = 2 ∨¬ b1) 
 do critical section od 
 b2 := false 
... (*noncritical actions*)
 end loop

• 进程$P_1$和$P_2$的$PG$图
• $TS（PG_1|||PG_1$）