前端算法第一四九期-排列硬币

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你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。

给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。

示例 1：

输入：n = 5
输出：2
解释：因为第三行不完整，所以返回 2 。

示例 2：

输入：n = 8
输出：3
解释：因为第四行不完整，所以返回 3 。

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二分查找

根据等差数列求和公式可知，前 k 个完整阶梯行所需的硬币数量为

$total=k×(k+1)/2$

因此，可以通过二分查找计算 n 枚硬币可形成的完整阶梯行的总行数。

因为 $1 \le n \le 2^{31} -1$，所以 n 枚硬币至少可以组成 1 个完整阶梯行，至多可以组成 n 个完整阶梯行（在 n=1 时得到）。

var arrangeCoins = function(n) {
    let left = 1, right = n;
    while (left < right) {
        const mid = Math.floor((right - left + 1) / 2) + left;
        if (mid * (mid + 1) <= 2 * n) {
            left = mid;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return left;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log⁡n)。
• 空间复杂度：O(1)。

数学

假设 $n$ 个硬币最多凑出 $x$ 行，根据等差数列求和公式 $S_n = n * a_1 + \frac{n * (n - 1)}{2} * d$（首项和公差均为 $1$），可得 $n$ 和 $x$ 的关系：

$\frac{x * (x + 1)}{2} <= n$

class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        return (int)((Math.sqrt(1 + 8.0 * n) - 1) / 2);
    }
}

遍历求和

遍历完整的阶梯，求各个阶梯的累加和，如果加上某层后，累加和大于n，则这一层不完整。

const arrangeCoins = n => {
    let sum = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i;
        if (sum > n) return i - 1;
    }
    // n==1的情况
    return 1;
};