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题目描述

若两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”，如2和5、6和13，它们能应用于通信加密。现在密码学会请你设计一个程序，从已有的 N （ N 为偶数）个正整数中挑选出若干对组成“素数伴侣”，挑选方案多种多样，例如有4个正整数：2，5，6，13，如果将5和6分为一组中只能得到一组“素数伴侣”，而将2和5、6和13编组将得到两组“素数伴侣”，能组成“素数伴侣”最多的方案称为“最佳方案”，当然密码学会希望你寻找出“最佳方案”。

输入:

有一个正偶数 n ，表示待挑选的自然数的个数。后面给出 n 个具体的数字。

输出:

输出一个整数 K ，表示你求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

数据范围： 1≤n≤100  ，输入的数据大小满足2≤val≤30000

输入描述：

输入说明
1 输入一个正偶数 n
2 输入 n 个整数

输出描述：

求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

示例1

输入：

4
2 5 6 13

输出：

2

示例2

输入：

2
3 6

输出：

0

示例3

输入：

2
3 6

输出：

0

题目的主要信息：

• 若两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”
• 已知有N个数，N为偶数，从中挑选若干对组成“素数伴侣”
• 求最多能组成的“素数伴侣”对数
• 数组的范围是2-30000

我们首先要明白大于2的偶数不可能是素数，而我们的给的数组元素都是大于等于2的，因此两个数相加必定大于2，因此我们要求的配对必须一奇一偶配对才有可能构成“素数伴侣”。

暴力匈牙利算法

我们对于统计的数组分成奇数数组和偶数数组，如果其中有一个数组为空，则不可能构成“素数伴侣”。 然后就相当于是左边一些奇数元素的点，要连到右边偶数元素上面，这就是二分图连线最多的问题，我们可以用匈牙利算法。

首先我们遍历左边奇数数组，对每一个元素都查找能否在偶数数组中找到配对的数，查找时我们遍历偶数数组，如果该偶数能和这个奇数匹配，且在这一轮这个偶数没被用过，我们再检查这个match数组（表示现阶段偶数匹配的对象），如果match数组中这个偶数没有匹配对象，或者递归查找这个匹配对象可以有其他的偶数匹配，那我们修改该匹配对象为这个奇数，代表能找到匹配。

判断一个数nnn是否是素数，我们只需要找它有无因子即能否被整除即可。从2开始遍历到该数前一个数n−1，查看每个数能否整除n，如果可以整除即余数为0，则不是素数，返回false。如果检查完所有的数都没有因子，则它是质数，返回true。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool isprime(int num){ //判断一个数是否是素数
    for(int i = 2; i * i <= num; i++){ //遍历到根号num
        if(num % i == 0) //检查有无余数
            return false;
    }
    return true;
}

bool find(int num, vector<int>& evens, vector<bool>& used, vector<int>& match){
    for(int i = 0; i < evens.size(); i++){ //遍历每个偶数与奇数比较
        if(isprime(num + evens[i]) && !used[i]){
            used[i] = true;
            if(match[i] == 0 || find(match[i], evens, used, match)){ //如果第i个偶数还未配对，或者跟它配对的奇数还有别的选择
                match[i] = num; //则配对该数
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    int n;
    while(cin >> n){
        vector<int> odds;
        vector<int> evens;
        vector<int> nums(n);
        for(int i = 0; i < n; i++){ //输入n个数
            cin >> nums[i];
            if(nums[i] % 2) //奇数
                odds.push_back(nums[i]);
            else //偶数
                evens.push_back(nums[i]);
        }
        int count = 0;
        if(odds.size() == 0 || evens.size() == 0){ //缺少奇数或者偶数无法构成素数
            cout << count << endl;
            continue;
        }
        vector<int> match(evens.size(), 0); //统计每个偶数的配对是哪个奇数
        for(int i = 0; i < odds.size(); i++){ //遍历每个奇数
            vector<bool> used(evens.size(), false); //每一轮偶数都没用过
            if(find(odds[i], evens, used, match)) //能否找到配对的偶数，且要最优
                count++;
        }
        cout << count << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nm^2\sqrt{k})$，其中n为奇数数组的长度，m为偶数数组的长度，$k=max奇数+max偶数$，我们外循环遍历奇数数组，内循环遍历偶数数组，但是内循环还有递归，因此最坏为$O(m^2)$，内循环每次还会判断相加是否是素数，判断一次不超过$O(\sqrt{k})$
• 空间复杂度：$O(max(n,m))$，递归栈及辅助数组空间不超过这个数值。