整数二分

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二分的性质

有单调性就一定可以二分，如果没有单调性也可以二分 本质：左边满足性质，右边不满足，二分可以用来寻找满足的边界跟不满足的边界(针对整数二分)

分析出来有上面这种情况的:只有满足性质跟不满足性质两种，我们就要想到可以用二分来做

情况一(模板一)

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二分红色的边界点

1. check(mid)用来检测是否满足红颜色的条件
2. true的条件下，注意：是包含mid的哦，因为mid满足红色的性质
3. false的条件下，是不包含mid的，又因为整数二分，所以是mid - 1
4. mid = (l + r + 1）/2

情况二(模板二)

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二分绿色的边界点 这里check(mid)用来检测是否满足绿颜色的条件

问题：如何选择用哪个模板？

1. 其实不用过于纠结，方法如下
2. 先写一个check函数, 也就是思考一下性质是什么
3. 判断true或false的时候，对应的l跟r的变化，如果true的情况下：
   1. 区间需要更新为l = mid,那么mid = (l + r + 1) / 2
   2. 区间需要更新为r = mid，那么mid = (l + r) / 2

记忆小技巧：army：读音与r mid相似，军队理想状态下没有人牺牲，也就是不变，军队的决策正确(true)，也就是mid 不用加一，如果false，l = mid + 1

为什么第一个模板mid要加上1

1. 假设：l = r - 1 , mid 没有加1(mid是向下取整的)
2. 第二步：true的情况下更新为l = mid ， l 还是=l, 区域范围还是没有变化，就会陷入死循环

题目

www.acwing.com/problem/con…

找第一个x的位置

1. 发现：check函数是q[mid] >= x
2. 右边所有数都满足>= x这个性质，左边所有数都不满足>=x这个性质

找最后一个x的位置

1. 发现：check函数是q[mid] <= x
2. 左边所有数都满足<= x这个性质，右边所有数都不满足<=x这个性质

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]); // 将数组读进来
    
    while (m --) // m个询问
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0, r = n - 1; // 从0开始呀
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            // check（）函数
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        // 二分出来的结果:第一个>= x的数，下面为不存在x的判断
        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' '; // 这里输出l跟输出r是一样的，因为while循环结束的时候l=r
            
            // 寻找右边界
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1>> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
             cout << l << endl;
        }
    }
}

总结

1. 二分的模板是一定有解的，如果无解的话就是跟题目有关的，根据题目来进行判断即可
2. 二分一定可以二分出来边界
3. 根据题目+二分出来的边界判断是否有解