K倍区间(前缀和 + 组合数)

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。
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输入样例

5 2 1 2 3 4 5

输出样例

6

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题解

本题就是求连续子序列的和为k的倍数，这样的子序列共有多少个，这边需要注意数据规模为10^5，因此直接用暴力枚举一定会超时。

该题可以优化静态数的区间和，而前缀和就是优化静态数（已经知道结果的数）区间和的一种方式，即一个数组A[100]有数1,2,3,4,5…,另一个数组S[100]有数1,3,6,10,15…，数组S中除了索引0之外的数，其他数S[ i ] = S[ i-1 ]+A[ i ],这样的数组S就叫做前缀和数组。对于元素A[i]到A[j]（以下均假设i<j）之间的序列和就等于S[j]-s[i]+A[i]。采用前缀和可以使得复杂度减少为O(n2),然而这样只能求得10^4的数，得不到满分

继续优化，在前缀和的基础上，对前缀和数组中每个数分别对K取余，取余后的数进行分类，由于是K倍区间，因此余数为0~K-1，而如果S[i]%K==S[j]%K，即二者余数相同，那么说明S[j]-S[i]的值一定为K的倍数，而S[j]-S[i]=A[i+1]+…+A[j]，也就说明存在一个序列满足K倍序列。我们用一个yushu[i]表示前缀和数组S中所有对K取余得到的余数为i的元素的个数。

因此对yushu[i]进行组合$C_m^2$（其中m=yushu[i]），故$C_m^2$即为K倍区间的数量，对yushu数组中每个元素的组合数进行求和，最后再加上yushu[0]的值则为最终的K倍区间的数量，而为什么要加上yushu[0]的值呢？

因为yushu[0]的值就是表示前缀和数组S中的元素值刚好能够整除K,假设是S[t]%K==0，也就是说从A[0]到A[t]的序列也是满足K倍区间的，因此yushu[0]的值也是满足K倍区间的序列的数量

另注：由于S[j]-S[i]为0时，【i，j】算k倍区间，所以只要再同一个数中任选两个数即可。 这就是 $C_m^2$（其中m=yushu[i]） 的由来。

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c++代码1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10,INF = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
ll a[N],s[N];
map<ll,ll> vis;
ll n,k;

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for (int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf("%lld",&a[i]);
    for (int i = 1;i <= n;i ++ ) s[i] = (s[i-1] + a[i]) % k;

    ll res = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++ ) {
        res += vis[s[i]];//统计组合数
        vis[s[i]] ++;
    }

    cout << res + vis[0] << '\n';//前缀和组合为0的个数 + 从1到i前缀和为0的个数
    system("pause");
    return 0;
}

c++代码2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10,INF = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
ll a[N],s[N];
map<ll,ll> vis;
ll n,k;

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for (int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf("%lld",&a[i]);
    for (int i = 1;i <= n;i ++ ) {
        s[i] = (s[i-1] + a[i]) % k;
        vis[s[i]] ++;
    }

    ll res = 0;
    for (int i = 0;i < k;i ++ ) {
        res += (vis[i] - 1) * vis[i] / 2;//统计组合数
    }

    cout << res + vis[0] << '\n';//前缀和组合为0的个数 + 从1到i前缀和为0的个数
    return 0;
}