本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

有限字的自动机（Automata on Finite Words）

不确定的有穷自动机（Nondeterministic Finite Automaton，简称NFA）

• NFA是一个五元组：$\mathcal{A}=(Q,\Sigma ,\delta,Q_0,F)$
  • $Q$：一组有限的状态，例如下图NFA的$q_0，q_1，q_2$
  • $\Sigma$：代表26个字母，例如下图NFA用到了$A、B$两个字母
  • $\delta$：$Q \times \Sigma \to 2^Q$，是一个变迁函数，例如下图NFA中的有箭头的线段，线段上面的字母，表示从一个状态读到这个字母，可以跳转到另一个状态
  • $Q_0$：$Q_0 \in Q$，是初始状态集合，例如下图NFA的$q_0$，NFA可能有多个初始状态
  • $F$：$F \in Q$，是可接收（最终）状态，例如下图NFA的$q_2$
• 一个简单的NFA
  • 字（word，简写w）：$w = A_1 \cdots A_n \in \Sigma^*$，是一串字母组成的字符串，表示一个NFA所要接收的一组输入（也叫做可接收的执行）。例如上图的NFA，可以接收$w=ABA$或$w=AABB$这样的字

    • $\Sigma^*$表示的是一组有限字，比如$\Sigma =\{a,b\}$，则$\Sigma^*= \{\varnothing,a,ab,aa,aaa,\cdots\}$，只要是有限的字，都在这个集合里面，但集合内的字的数量可以是无限的
    • $\Sigma^*\Sigma=\Sigma \Sigma^*=\Sigma$

  • 状态变迁：
    • 公式说明：$q_0 \in Q_0 \ and \ q_i \xrightarrow {A_{i+1}} q_{i+1} \ for \ all \ 0 \leqslant i \leqslant n,and \ q_n \in F$
    • 文字解释：
      • $q_0$是一个初始状态（可能存在多个初始状态，$q_0$只是其中一个）
      • $q_i$状态下，读取字母$A_{i+1}$后，移动到状态$q_{i+1}$，其中$0 \leqslant i \leqslant n$
      • 最后一个状态$q_n$为最终状态，也叫可接收状态
  • $\mathcal{L}(\mathcal{A})$：表示自动机所有可接收的字的集合，称为自动机$\mathcal{A}$的语言，例如：$\mathcal{L}(\mathcal{A})=\{ABA,AABB,ABABBB,AABBA,\cdots\}$
  • 如果两个NFA可接收的语言相同，则他们是等价的，即$\mathcal{L}(\mathcal{A})=\mathcal{L}(\mathcal{A'})$

正则表达式（Regular expressions）

• 语法：$E ::= \varnothing | \varepsilon | A | E + E' | E.E' | E^∗$

  • $\varnothing$表示空集，长度为零
  • $\varepsilon$表示空字母，也就是一个没有任何字母的输入，比如$AB\varepsilon AA$，长度为一
  • $A$是字母表$\Sigma$里的一个字母
  • $E + E'$表示两个正则表达式相加
  • $E.E'$表示两个正则表达式连接
  • $E^∗$表示正则表达式$E$的有限次连接，如$E.E.E$，其中包含零次连接，零次连接的结果为$\varnothing$

• 语义：自动机可以接收的语言，用$\mathcal{L}$表示，$\mathcal{L}(\mathcal{A})=\{AAB,ABBBA\}$表示自动机$\mathcal{A}$可以接收的语言为$AAB$和$ABBBA$。具体规则如下

  • $\mathcal{L}(\varnothing)=\varnothing$
  • $\mathcal{L}(\varepsilon )=\varepsilon$
  • $\mathcal{L}(E+E')=\mathcal{L}(E)\cup \mathcal{L}(E')$
  • $\mathcal{L}(E.E')=\mathcal{L}(E). \mathcal{L}(E')$
  • $\mathcal{L}(E^*)=\mathcal{L}(E)^*$

  例如$\mathcal{L}(E)=\{a,ab\},\mathcal{L}(E')=\{b,ab\}$，则$\mathcal{L}(E.E')=\mathcal{L}(E). \mathcal{L}(E')=\{ab,aab,abb,abab\}$

关于正则语言和有限自动机之间的关系

• 有限自动机所接收的语言和正则表达式所接收的语言是等价的，有相同的表达能力，都是正则语言

• 他们的交（$\cap$）和补（complementation）是封闭的

  • 封闭性表示两个正则语言的交，结果仍然为正则语言，两个正则语言的补，结果也仍然为正则语言
  • NFA的$\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$等于正则语言$\mathcal{L}(A)\cap \mathcal{L}(B)$
  • 确定的有穷自动机（Deterministic Finite Automaton，简称DFA）的$\overline{\mathcal{A}}$等于语言$\overline{\mathcal{L}(A)}=\Sigma^* \backslash \mathcal{L}(A)$，解释：$\Sigma^*$里去掉$\mathcal{L}(A)$，就是$\mathcal{L}(A)$的补

• 基于确定性的封闭性：有限自动机可以用正则表达式来表示，正则表达式可以用有限自动机来表示

  • 用KS来表示一个系统，用NFA来表示一个性质，如果KS$\otimes$NFA的结果为$\varnothing$，则表示该KS没有字能够满足NFA的性质，否则，结果表示为该KS存在满足该NFA的字。
  • NFA是我们对性质的一种图形表示

无限字的自动机（Automata on Finite Words）

$\omega$正则表达式（$\omega$-Regular expressions）

• 语法：$G = E_1.F_1^\omega + \cdots + E_n.F_n^\omega$

  • $n > 0$

  • $E_i和F_i$是$\Sigma$上的正则表达式

  • $\varepsilon \notin \mathcal{L}(F_i)$

  • 正则表达式表示有限字的语义，$\omega$正则表达式表示无限字的语义
  • $\Sigma^\omega$表示的是一组无限字，比如$\Sigma =\{a,b\}$，则$\Sigma^\omega= \{a\cdots a,aba \cdots aaa,\cdots\}$，只要是无限的字，都在这里面（不可能是0字），同时，集合内的元素也是无限的

• 范例：$(B^*.A)^\omega$展开后为$B^*.A.B^*.A\cdots$

• 语义：$\mathcal{L}_\omega(G) = \mathcal{L}(E_1).\mathcal{L}(F_1)^\omega \cup \cdots \cup \mathcal{L}(E_n).\mathcal{L}(F_n)^\omega$

  • $\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$
  • $\mathcal{L}(G) \subseteq \Sigma^\omega$
  • $\mathcal{L}^\omega=\{w_1w_2w_3\cdots|\forall _i\geqslant 0,w_i \in \mathcal{L}\}$

  如果$G_1$和$G_2$所接收的语言相等，即$\mathcal{L}_\omega(G_1)=\mathcal{L}_\omega(G_2)$，则这两个$\omega$正则表达式$G_1$和$G_2$等价，即$G_1 \equiv G_2$

• 举例：$\Sigma = \{A,B\}$的情况下

  • 一个包含无限多个$A$的语言：$(B^*.A)^\omega$
  • 一个包含有限多个$A$的语言：$(A+B)^*.B^\omega$
  • 空语言：$\varnothing^\omega$

关于交并补都是封闭的，也就是两个$\omega$正则语言交的结果仍然为$\omega$正则语言，并的结果仍然为$\omega$正则语言，补的结果仍然为$\omega$正则语言

非确定性$B\ddot{u}chi$自动机（$Nondeterministic \ B\ddot{u}chi \ Automaton$，简称NBA）

• NFA和DFA自动机只能接收有限字的自动机，$B\ddot{u}chi$自动机可以接收无限字的自动机
• NBA是一个五元组$\mathcal{A} = (Q,\Sigma,\delta,Q_0,F)$，字$\sigma=A_0A_1A_2\cdots \in \Sigma^\omega$
• $\mathcal{A}$可接收的字是无限序列$q_0q_1q_2\cdots$
  • $q_0 \in Q_0$
  • 对于所有$i\geqslant 0$，都有$q_i\xrightarrow {A_{i+1}}q_{i+1}$
  • 存在无限经常次出现的$q_i \in F$
  • 一个NBA自动机可接收的语言为可接收语言对应的无限字的集合，即$\mathcal{A}$可以被接收的语义为：$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A})=\{\sigma \in \Sigma^\omega|$存在可接收的语言$\mathcal{A}，\mathcal{A}$由$\sigma$组成$\}$
• 如果两个NBA可以被接收的语言相同，则他们是等价的

有环的情况下的NBA和NFA

• 性质1：从NFA的相等，并不能推出NBA的相等
  • 上图分析 $\mathcal{L}(\mathcal{A_1})=AA^*=A^*$ $\mathcal{L}(\mathcal{A_2})=A^*A=A^*$ $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1})=AA^\omega=A^\omega$ $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})=\varnothing$
  • 虽然 $\mathcal{L}(\mathcal{A_1})=\mathcal{L}(\mathcal{A_2})$，但 $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1})\neq \mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})$

  $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})=\varnothing$的原因是，NBA只能接收无限字的自动机，如果接收$A^*A$，那么不满足无限字的情况，如果接收$A^\omega A$，那么$A^\omega$永远也不会结束，不属于自动机了，所以$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})$

• 性质2：从NBA的相等，并不能推出NFA的相等
  • 上图分析 $\mathcal{L}(\mathcal{A_1})=\{\varnothing,AA,AAAA,\cdots\}$ $\mathcal{L}(\mathcal{A_2})=\{A,AAA,AAAAA,\cdots\}$ $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1})=AA^\omega=A^\omega$ $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})=A^\omega A=A^\omega$
  • 虽然 $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1})=\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})$，但 $\mathcal{L}(\mathcal{A_1})\neq \mathcal{L}(\mathcal{A_2})$

NBA和$\omega$-正则语言

• 关系：NBA可接收的语言为$\omega$-正则语言，他们具有相同的表达能力
  • 任何$\omega$-正则语言都可以被一个NBA自动机所接收
  • 对于任何一个NBA：$\mathcal{A}$，它可接收的语言$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A})$都是$\omega$-正则语言

对于任何一个$\omega$-正则语言，都存在一个可接收它的NBA

如何为一个$\omega$-正则语言寻找一个可接收它的NBA呢

• $\omega$-正则表达式的构成：$G = E_1.F_1^\omega + \cdots + E_n.F_n^\omega$，其中，$E_i$和$F_i$都是在字母表$\Sigma$上的正则表达式，且$\varepsilon \notin F_i$

  $E_i$是正则表达式，$F_i^\omega$是一个$\omega$-正则表达式，他们俩连接运算后形成了一个$\omega$-正则表达式：$E_i.F_i^\omega$

• $\omega$-正则表达式，得到一个可接收它的NBA的过程
  • 加法运算：两个NBA可接收语言的加法是：$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A}_1)\cup\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A}_2)$

    • 这两个NBA是$\mathcal{A}_1$和$\mathcal{A}_2$，他们可接收的语言分别是$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A}_1)$和$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A}_2)$
    • 多个求加法运算和两个也是一致的，先求出两个的加法运算结果，再进行下一次加法运算

  • $\omega$次方运算：对于任意的正则表达式$\mathcal{L}$，如果$\varepsilon \notin \mathcal{L}$，则存在NBA可接收$\mathcal{L}^\omega$

    $\mathcal{L}^\omega$表示无限次重复，也就是存在NBA可以接收$\mathcal{L}\mathcal{L}\mathcal{L}\cdots$

  • 连接运算：对于正则表达式$\mathcal{L}$和NBA：$\mathcal{A'}$，存在另一个NBA可接收$\mathcal{L}.\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A'})$

通过$\omega$方法将NFA转换为NBA

• 目的：让一个可接收有限字的NFA：$\mathcal{A} = (Q,\Sigma,\delta,Q_0,F)$构造成一个可接收无限字的NBA

• $\mathcal{A}$需满足的条件：$\mathcal{A}$中的所有的初始状态都没有摄入转移，并且$Q_0 \cap F = \varnothing$

  • 如果上述条件不满足，则要进行如下转移
    • 增加一个新的初始状态$q_{new} \notin F$，
    • 增加边：对于一些$q_0 \in Q_0$，当且仅当$q_{0} \xrightarrow {A}q$，则$q_{new} \xrightarrow {A}q$
    • 其他的变迁不用变
  • 转移完成后，得到了一个新的NFA，初始状态无摄入转移，此时NFA满足上述条件了

  $Q_0 \cap F = \varnothing$表示初始状态和可接收状态是不能相交的 基本原则：原来初始状态能到达的状态，新的状态也要能到达

  • 转移范例： 下图的NFA中，初始状态$S_1$有一条摄入边，需要进行转移 所以我们要创建一个新的状态$S_{new}$作为新的初始状态，并且取代$S_1$接收字所能达到的状态，也就是需要加上$S_{new} \xrightarrow {A} S_2$和$S_{new} \xrightarrow {B} S_3$，再删除掉$S_1$的摄入边，此时的 NFA则满足上述条件：$\mathcal{A}$中的所有的初始状态都没有摄入转移，并且$Q_0 \cap F = \varnothing$

• 构造NBA的过程：构建一个新的NBA：$\mathcal{A'}=(Q,\Sigma ,\delta',Q_0',F')$，规则如下

  • 如果存在$q \xrightarrow {A}q'$且$q' \in F$，则加上一条路径$q \xrightarrow {A}q_0$，且对于任意的$q_0 \in Q_0$
  • 其他的变迁不用变
  • $Q_0'=Q_0$且$F'=Q_0$

  基本原则：原来能到达可接收状态的，也要能到达新的状态

• 构建NBA范例：用接收$(A^∗B)$的NFA构造一个接收$(A^∗B)^\omega$的NBA

• 因为初始状态$q_0$有两种能到达的状态：$q_{0} \xrightarrow {A}q_0,q_{0} \xrightarrow {B}q_1$，所以，需要以$q_{new}$为初始状态，加这两种情况：$q_{new} \xrightarrow {A}q_{0},q_{new} \xrightarrow {B}q_{1}$

  比较复杂的解释：

  • 这是一个NFA，$q_0$有摄入边，但我们构造的时候不能有涉入边，所以我们要进行转换，增加一个新的状态$q_{new}$和两个新的转移$q_{new} \xrightarrow {B}q_1$，$q_{new} \xrightarrow {A}q_0$
  • 根据“对于一些$q_0 \in Q_0$，当且仅当$q_{0} \xrightarrow {A}q$，则$q_{new} \xrightarrow {A}q$”，将性质中的$A$换成了$B$，$q$换成了$q_1$得到$q_{new} \xrightarrow {B}q_1$，将性质中的$q_0$换成了$q$得到$q_{new} \xrightarrow {A}q_0$
  • 此时$q_0$读$A$到$q_0$，$q_{new}$读$A$到$q_0$，$q_{0}$读$B$到$q_1$，$q_{new}$读$B$到$q_1$，对于这个状态来说，就没有涉入边了，该对它进行转换了

  

• 因为有两种情况可以转换到可接收状态$q_1$：$q_{0} \xrightarrow {A}q_1,q_{new} \xrightarrow {B}q_1$，所以，需要加两种情况将他们转换到$q_{new}$：$q_{0} \xrightarrow {A}q_{new},q_{new} \xrightarrow {B}q_{new}$

  比较复杂的解释：

  • 先看$q_{new}$读$B$转换到$q_1$，$q_1$是可接收状态，那我们再增加一条边，$q_{new}$读$B$转到初始状态，也就是$q_{new}$本身，增加了一个自回路
  • 根据性质“如果$q \xrightarrow {A}q'$且$q' \in F$，则加上一条路径$q \xrightarrow {A}q_0$，且对于任意的$q_0 \in Q_0$”，把性质里的$A$换成了$B$，把$q$和$q_0$换成了$q_{new}$，得到$q_{new} \xrightarrow {B}q_{new}$这条边
  • 我们再看$q_0$，$q_{0}$读$B$到$q_1$，$q_1$是可接收状态，那我们再增加一条边，$q_{0}$读$B$到初始状态$q_{new}$
  • 根据性质“对于一些$q_0 \in Q_0$，当且仅当$q_{0} \xrightarrow {A}q$，则$q_{new} \xrightarrow {A}q$”，把性质里的$A$换成了$B$，把$q$和$q_0$换成了$q_{new}$，得到$q_{0} \xrightarrow {B}q_{new}$这条边

  

• 最后再把可接收状态转换为

  可接收状态从$q_1$换到$q_{new}$的原因：$q_1$的存在其实已经毫无意义，他被$q_{new}$完全取代，所以将可接收状态转移给$q_{new}$即可，但我们不能把他删掉，即便已经不需要用了。具体依据性质“$Q_0'=Q_0$且$F'=Q_0$”

  • 增加了两条边之后，这个就是可接收$F^\omega=(A^*B)^\omega$的NBA了

加法运算

对于任意的NBA：$\mathcal{A_1}$和$\mathcal{A_2}$

• $\mathcal{A_1}+\mathcal{A_2}=(Q_1 \cup Q_2,\Sigma,\delta ,Q_{0,1},F_1 \cup F_2)$
• $\delta(q,A)=\delta_i(q,A)$

  $\delta$是一个变迁函数，之前怎么变迁的，合并后还是怎么进行变迁

• $Q_1 \cap Q_2= \varnothing$
• $\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1}+\mathcal{A_2})=\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_1})\cup \mathcal{L}_\omega(\mathcal{A_2})$

连接运算

对于正则表达式$\mathcal{L}$和NBA：$\mathcal{A'}$，存在另一个NBA可接收$\mathcal{L}.\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A'})$，$\mathcal{A}$和$\mathcal{A'}$满足如下条件：

• NFA：$\mathcal{A}=(Q,\Sigma,\delta,Q_0,F)$
• FBA：$\mathcal{A'}=(Q',\Sigma,\delta',Q_0',F')$
• 在$Q \cap Q'=\varnothing$的前提下，$\mathcal{A''}= \mathcal{A}.\mathcal{A'} =(Q'',\Sigma,\delta'',Q_0'',F'')$
  • $Q_0''$的取值：
    • 如果$Q_0 \cap F = \varnothing$，则：$Q_0''=Q_0$
    • 否则：$Q_0'' = Q_0 \cup Q_0'$
  • $F''=F'$
  • $\delta''(q,A)$的取值：
    • 如果$q \in Q$且$\delta(q,A) \cap F=\varnothing$，则$\delta''(q,A)=\delta(q,A)$
    • 如果$q \in Q$且$\delta(q,A) \cap F=\varnothing$，则$\delta''(q,A)\neq \delta(q,A)$
    • 如果$q \in Q'$，则$\delta''(q,A)\neq \delta'(q,A)$
• 两个NBA进行连接的范例： $\mathcal{L}(\mathcal{A})=(AB)^*$ $\mathcal{L}(\mathcal{A'})=(A+B)^*BA^\omega$ 则$\mathcal{L}(\mathcal{A.A'})=(AB)^*(A+B)^*BA^\omega$

Generalized NBA（简写为GNBA）

• NBA具有和$\omega$正则表达式一样的表达能力，NBA的变体也有着相同的表达能力，比如Muller，Rabin，Streett automata，Generalized Büchi automata（GNBA）
• GNBA和NBA很相似，只有可接收状态不相同，也就是下面的$\mathcal{F}$
  • 一个GNBA可以无限次接收多组$F_1,\cdots,F_k(k\geq 0)$
  • 对于每一次$k=0$，所有的运行都可接收，对于每一次$k=1$，它和NBA类似

  $F$是可接收状态集合，$F_i$是$Q$的子集

• GNBA对于线性时间和自动机有一些作用
• GNBA是一个五元组：$\mathcal{G}=(Q, \Sigma, \delta, Q_0, \mathcal{F})$
  • $Q, \Sigma, \delta, Q_0$和NBA一样
  • $\mathcal{F}=\{F_1,\cdots,F_k\}$是$2^Q$的子集（$k\geq 0$），即$F_n\subseteq Q$（$k \geq n \geq 0$）
  • 可接收的字$\sigma =A_0A_1A_2\cdots \in \Sigma^\omega$
  • 对于$\mathcal{G}$每一个$\sigma$都有一个可接收的运行$q_0q_1q_2\cdots$，这是一个无限序列，且满足：
    • $q_0 \in Q_0$且$q_{i} \xrightarrow {A_i}q_{i+1}$，$0 \leqslant i$

      $q_0$是初始状态

    • $F \in \mathcal{F}:q_i \in F$，$q_i$无限经常次出现
  • GNBA可识别的语言$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{G})=\{\sigma \in \Sigma ^ \omega 存在一个针对\mathcal{G}中的\sigma的一个可接收的运行\}$
• GNBA的一个范例：
  • 此GNBA的$\mathcal{F} = \{ \{ q1 \}, \{ q2 \} \}$，即$\mathcal{F}$是由$q_1$组成的集合和$q_2$组成的集合构成
  • 当$crit_1$和$crit_2$无限经常次想要接收时，$q_1$和$q_2$会无限经常次被访问

GNBA转NBA

• 对于任何一个GNBA $\mathcal{G}$来说，都存在一个NBA $\mathcal{A}$，使得他们的接收语言是相同的，即$\mathcal{L}_\omega(\mathcal{G})=\mathcal{L}_\omega(\mathcal{A})$

  GNBA和NBA的表达能力是一样的

• 思想：将$\mathcal{F}$分成$k$块，从初始状态出发，当我们到达$F_1$的某个状态之后，找的到达$F_1$的某个状态，$\cdots$，一直到找$F_k$的某一个状态，当我们到达$F_k$的某一个状态后，回去，再找$F_1$中的某一个状态，这样以来，我们依次把他都经过了$F_1$到$F_k$个状态无线经常次重复，根据这种思想，进行变换，从GNBA到NBA的一个转换

我们怎么知道我当前要经过哪一个$F$ ？ 我们要通过增加一个变元的方式，把经过的$F$记录下来

• 公式：

  • GNBA：$G=(Q,\Sigma,\delta,Q_0,F)$
  • NBA：$A=(Q',\Sigma',\delta',Q_0',F')$
  • $Q'=Q \times \{1,\cdots,k\}$

    k的值就是上面思想上的k块

  • $Q_0'=Q_0 \times \{1\}=\{\left \langle q_0,1 \right \rangle|q_0 \in Q_0\}$
  • $F'=F_1 \times \{1\}=\{\left \langle q_F,1 \right \rangle|q_F \in F_1\}$
  • $\delta' (\left \langle q,i \right \rangle ,A)=\begin{Bmatrix} { \left \langle q',i \right \rangle|q' \in \delta (q,A) }& if \ q \notin F_i\\ { \left \langle q',i+1 \right \rangle|q' \in \delta (q,A) }& otherwise \end{Bmatrix}$

• GNBA转NBA范例：

  • GNBA： $\mathcal{F}=\{F_1,F_2\}$ $F_1=\{q_1\}$ $F_2=\{q_2\}$ 由上述可知 这个GNBA的$\mathcal{F}$分成2块，所以k=2 所以$Q'=Q \times \{1,2\}$ 因为$Q=\{q_1,q_2\}$ 所以$Q'=\{\left \langle q_0,1\right \rangle \left \langle q_0,2\right \rangle \left \langle q_1,1\right \rangle \left \langle q_1,2\right \rangle \left \langle q_2,1\right \rangle \left \langle q_2,2\right \rangle\}$ $F'=F_1 \times \{1\}=\{q_1\} \times \{1\}=\{q_1,1\}$ $\delta$到$\delta'$的变化就不一一列举了，具体根据上述的公式都可以得出，举一个吧：
    • 在GNBA中，$q_1 \xrightarrow {true}q_0$
    • 因为$q_1 \in F_i$
    • 所以$\delta' (\left \langle q_1,1\right \rangle,true)=\left \langle q',1+1\right \rangle=\left \langle q',2\right \rangle$
    • 因为$q' \in \delta(q_1,ture)$，而$\delta(q_1,ture)=q_0$
    • 所以$q'=q_0$
    • 因此，在NBA中，$\delta' (\left \langle q_1,1\right \rangle,true)=\left \langle q_0,2\right \rangle$

    对于$\delta' (\left \langle q_1,2\right \rangle,true)=\left \langle q_0,3\right \rangle$，因为k=2，没有$\left \langle q_0,3\right \rangle$这个状态，所以当$i$要大于2的时候，自动变为2，也就是$\delta' (\left \langle q_1,2\right \rangle,true)=\left \langle q_0,2\right \rangle$

  • 最终的NBA：