Python算法——递归

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1 递归

1.1 递归的基本概念

递归是一种解决问题的方法，它将问题不断的分为更小的子问题，通过处理普通的子问题来解决问题。递归函数是直接调用自己或通过一系列语句间接调用自己的函数。需要注意的是，递归函数每次调用自己时，都会将原问题进行简化，最终较小问题的序列必须收敛于基本情况，解决问题，终止递归。利用递归可以非常优雅的解决一些复杂问题。很多数学函数就是递归定义的，比如使用递归定义的阶乘函数：

尽管这个定义是递归的，但它不是无限循环无法终止的。事实上，利用此函数可以非常简单的计算阶乘。例如计算 $3!$，根据定义，有 $3!=3(3–1)! = 3(2!)$，接下来我们需要解决 $2!$，再次应用定义 3! = 4(2!) = 3[(2)(2−1)!] = 3(2)(1!)，继续此过程，最后我们需要计算 $0!$，而根据定义 $0!=1$，计算过程就结束了： $3! = 3(2!) = 3(2)(1!)= 3(2)(1)(0!)= 3(2)(1)(1)=6$

可以看到，递归定义并非是无限循环的，因为每次应用定义，程序都会将问题分解为更简单的子问题，在阶乘函数示例中，即为计算较小数的阶乘，直到计算$0!$，这不需要再次应用递归即可求解。当递归到底时，我们得到一个可以直接计算的闭合表达式，也被称为递归的“基本情况”。而函数调用自身来执行子任务时，被称为“递归情况”。

1.2 递归的重要性

递归函数是从数学中借鉴的一种重要的编程技术，通常使用递归可以极大的降低代码量，在许多可以分解为子问题的任务中非常有用，例如，排序、遍历和搜索等通常可以借助递归方法快速的给出解决方案。

1.3 递归三原则

和许多算法一样，递归同样有着需要遵守的重要原则，称为递归三原则：

• 递归算法必须有基本情况；
• 递归算法必须改变状态并逐渐收敛于基本情况；
• 递归算法必须包含递归情况，能够递归的调用自身。

需要注意的是，递归的核心思想并不是循环，而是将问题分解成更小、更容易解决的子问题。

1.4 递归的应用

递归在程序设计中有着十分重要的作用，以下是一些常用到递归的实际场景：

• 斐波那契数列、阶乘计算等数学问题；
• 归并排序、快速排序；
• 二分查找；
• 树和图的遍历以及相关问题；
• 汉诺塔。

2 递归示例

本节中，我们将从简单的列表求和问题入手，了解递归算法的使用方式。

列表求和

列表求和是十分简单的问题，用来了解递归算法的思想再合适不过了。例如我们需要计算列表 [1, 2, 3, 4, 5] 的和，如果利用循环函数计算，则可以编写如下代码计算列表中所有数之和：

def sum_list(list_data):
    result = 0
    for i in range(list_data):
        result += i
    return result

如果不使用循环，我们该如何解决这一问题呢？我们可以写出求和过程 $((((1+2)+3)+4)+5)$，而根据加法交换律，计算过程也可以写为 $(1+(2+(3+(4+5))))$，这时我们就可以很清楚的看到，列表的数据总和等于列表第一个元素加上其余元素：

使用 python 实现以上等式如下：

def sum_list(list_data):
    if len(num_list) == 1:
        return list_data[0]
    else:
        return list_data[0] + sum_list(list_data[1:])

在代码中，首先给出了函数退出的条件，这就是递归函数的基本情况，在示例中就是说，长度为 1 的列表，其元素和就是列表中的数。不满足退出条件，sum_list 则会调用自己，这就是递归函数的递归情况，也是其称为递归函数的原因。

在下图(a)中，可以看到求解 [1, 2, 3, 4, 5] 时的递归调用过程，每次递归调用都是在解决一个更接近基本情况的问题，直到问题不能被进一步简化。

当问题无法简化时，开始拼接所有子问题的解，下图(b)展示递归函数 sum_list 在返回一系列调用结果时所进行的加法操作，当返回到顶层时，就解决了最初的问题。