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给定一个包含非负整数的
m x n网格grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。说明：每次只能向下或者向右移动一步。
输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
一、分析
给定一个二维数组matrix，一个人必须从左上角出发，最后到达右下角，沿途只可以向下或者向右走，沿途的数字都累加就是距离累加和，返回最小距离累加和。
因为只能向下或向右移动，所以格子第一行和第一列很好填。
方法一：准备一张二维dp表，dp[i][j]含义：当前来到(i,j)位置的格子，最小累加和是多少
第一行和第一列很好填，剩下的格子就是 min(向下走，向右走) + 当前格子的值
方法二：优化空间：原数组matrix，需要建立一张相等规模的dp表，经过分析，每一行的值只依赖于上一行的值和本行左边的值，当这行填完后，下一行又依赖于上一行的值，依次传递下来，所以不需要建立同等规模的dp表
只需要建立一张一维的数组dp即可
二、实现
1、二维dp
public static int minPathSum(int[][] m) {
if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) {
return 0;
}
int row = m.length;
int col = m[0].length;
int[][] dp = new int[row][col];
dp[0][0] = m[0][0];
for (int i = 1; i < row; i++) { // 0列
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + m[i][0];
}
for (int j = 1; j < col; j++) { // 0行
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + m[0][j];
}
for (int i = 1; i < row; i++) {
for (int j = 1; j < col; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + m[i][j];
}
}
return dp[row - 1][col - 1];
}
2、一维dp（数组压缩技巧）
// dp优化：数组空间压缩，一维数组搞定
public static int minPathSum(int[][] m) {
if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) {
return 0;
}
int row = m.length;
int col = m[0].length;
int[] dp = new int[col];
dp[0] = m[0][0];
for (int j = 1; j < col; j++) { // 0行
dp[j] = dp[j - 1] + m[0][j];
}
for (int i = 1; i < row; i++) {
dp[0] += m[i][0];
for (int j = 1; j < col; j++) {
// arr[j-1] -> dp[这一行][j-1] 左侧的值
// arr[j] -> dp[上一行][j] 上侧的值
dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + m[i][j];
}
}
return dp[col - 1];
}
三、总结
记忆化搜索进一步优化：严格位置的空间压缩技巧
常见的数组空间压缩技巧：在数组上整体从上往下（一行一行的）滚动更新 或 在数组上整体从左往右（一列一列的）滚动更新
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当前位置依赖左边和上边 ，例如本题就是，整体是从上往下更新
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当前位置依赖于左上和上，第0行直接得到，既不依赖左上，又不依赖上，相当于base case，第1上从右往左依次求，整体是从上往下（一行一行的）更新
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当前位置依赖于左边、左上边、上边，从左往右更新，但是需要有个变量t记录，整体是从上往下（一行一行的）更新
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当前位置依赖于左边、左上边、上边，从左往右更新，这种情况是行比较小，列比较大，空间省，整体是从左往右（一列一列的）更新
如果发现列比较短，就一行一行的更新，如果发现列比较长，行比较短，就从一列一列的更新
