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1.题目描述
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
提示：
- 1 <= nums.length <= 105
- -104 <= nums[i] <= 104
进阶： 如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。
来源：力扣（LeetCode）
链接：53. 最大子数组和
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2.题解
2.1 动态规划
2.1.1 思路
这道题我最先想到的就是动态规划，所以先讲。这道题应该算是比较经典的动态规划题目了,下面来讲一下思路。
因为我们要求的是最大子数组和，所以顺序不能动，排除排序，而且相加的时候只能和左右两边相加。
那么这个时候，我们从左往右考虑，就比如第二个数要不要加上第一个数。那如果第一个数是正数，那肯定可以加；如果是负数，那就不加。
衍生出来子数组和，如果第1,2个数的子树和为正数，那第3个数肯定要加上这个子树和。那如果是负数，还不如自己大，那就不加。
如果我们用一个数组来存当前第i个数的从左往右的最大的子树和。那我们只需要遍历这个新的数组，找到她的最大值，那也就是原数组的最大子树组和。
到这里我们就可以得出动态转移方程：
然后我用一个值存了最大值，这样可以直接返回。 时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)。
2.1.2 java代码
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] maxn = new int[nums.length];
int max = nums[0];
maxn[0] = nums[0];
for(int i = 1;i<nums.length;i++){
maxn[i] = Math.max(nums[i]+maxn[i-1],nums[i]);
max = Math.max(max,maxn[i]);
}
return max;
}
}
2.2 优化的动态规划
2.2.1 思路
动态规划还可以优化，因为我们要求的只是一个最大值，所以其实可以不用一个数组来记录,只需要存前一个数的最大子数组就行。这样一个数组就变成了一个数。空间复杂度变为了O(1)，但时间复杂度还是O(n)。 动态转移方程就变成了：
2.2.2 Java代码
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre = 0;
int max = nums[0];
for(int i = 0;i<nums.length;i++){
pre = Math.max(pre + nums[i], nums[i]);
max = Math.max(max, pre);
}
return max;
}
}
2.3 贪心算法
2.3.1 思路
那如果是贪心的话，就不是和动态规划一样考虑一步一步地走，而是一整个数组考虑。就一直走，碰到最大的数就记录下来。
如果此时sum为负数，那下一个数相加是，就不考虑sum，所以要将sum在求完最大值之后置0。
2.3.2 Java代码
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int max = nums[0];
int sum = 0;
for(int i=0;i<nums.length;i++){
sum = sum+nums[i];
max = Math.max(max,sum);
sum = Math.max(sum,0);
}
return max;
}
}
2.4 分治法
分治法等我学完线段树再写好了。
