Acwing ：Prim算法求最小生成树

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一、题目描述：

给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|n=|V|，m=|E|m=|E|。

由 VV 中的全部 nn 个顶点和 EE 中 n−1n−1 条边构成的无向连通子图被称为 GG 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 GG 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,w，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条权值为 ww 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤5001≤n≤500, 1≤m≤1051≤m≤105, 图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000010000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

二、思路分析：

这里我们可以看到图为稠密图，且算法为求最小生成树算法，像铺路问题之类的都为最小生成树问题的一种。

稠密图 使用prim算法，稀疏图使用kruskal算法。

1. prim算法步骤和Dijkstra算法类似，都是采用贪心的思想。

   1. 初始化dist数组为正无穷（dist数组为点到生成树集合的距离）
   2. 迭代 n 次，（Dijkstra算法迭代 n - 1次，因为dijkstra算法一开始已经确定了一个点）
   3. 每次迭代都找到一个未使用过的离集合最近的点，用这个点来更新其他点离集合最的距离
   4. 把这个点标志为已使用.

2. 1. 该题存在重边所以要取重边的最小边放到数组中去
   2. 该题可能存在负自环所以要先累计权值再更新距离

三、AC 代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int n,m;
    static boolean st[] = null;
    static int[] dist = null;
    static int[][] g = null;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt(); m = in.nextInt();
        st = new boolean[n+1]; dist = new int[n+1];
        g = new int[n+1][n+1];

        Arrays.fill(dist, 0x3f3f3f3f);
        for (int i = 0; i < n+1; i++) {
            Arrays.fill(g[i], 0x3f3f3f3f);
        }
       
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = in.nextInt(); int b = in.nextInt();
            // 可能存在重边要取最小值录入
            g[a][b] = g[b][a] = Math.min(g[a][b],in.nextInt());
        }

        int res = Prim();
        if(res == 0x3f3f3f3f) System.out.println("impossible");
        else System.out.println(res);
    }

    public static int Prim(){
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = -1;
            for (int j = 1; j < n+1; j++) {
                if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist [j])) {
                    t = j;
                }
            }
            // 如果 i 不为 0，且dist[t] 为 正无穷 ，
            // 则说明有点不和集合连通，则不能构成最小生成树 
            if (i > 0 && dist[t] == 0x3f3f3f3f) {
                return 0x3f3f3f3f;
            }
            // 累加权值，i为0则距离还未初始化dist[1]为正无穷
            //先累加再更新避免出现负自环的现象
            if( i > 0){
                res += dist[t];
            }
            st[t] = true;
            // 更新
            for (int j = 1; j < n+1; j++) {
                dist[j] = Math.min(dist[j], g[t][j]);
            }

            
        }
        return res;
    }
}