本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路
背景
很多OJ题目会涉及对一个大质数取余数。
基础知识
- Lucas定理
- 费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
- 快速幂：zhuanlan.zhihu.com/p/95902286
常见题型
- 幂次取余：即计算
a^n mod p。用快速幂算。 - 组合数取余：即计算
C(n, m) mod p. 使用如下策略：
- 在
n >= p的情况下，先使用Lucas定理，将求余的对象转成多个组合数的乘积。 - 在转化到
n, m < p之后，考虑到C(n, m) = n! / m! / (n-m)!，而根据费马小定理，m! ^ (p-1) mod p == 1, (n-m)! ^ (p-1) == 1，三者相乘可得，C(n, m)和n!*(m!(n-m)!) ^ (p-2)mod p同余。因此，计算n! mod p和(m!(n-m)!) ^ (p-2) mod p即可。后者可以用快速幂求，且m!(n-m)! mod p可以在求n! mod p的过程中求出。
例题
CodeWars - Faberge easter eggs crush test
首先列个DP的递推式，然后计算，发现这道题的核心是求length(n, m) = C(m, 1) + ... + C(m, n). 对大素数MOD的模。（好吧，实际上看样例就能猜出来通项公式。）
Step 1.
forall n < MOD, C(m, n) = C(m//MOD, n//MOD) * C(m%MOD, n%MOD) = C(m//MOD, 0) * C(m%MOD, n) = C(m%MOD, n). （同模MOD意义下的相等）
注意到题目条件，题目中的n < MOD必然，所以在m较大的时候，先将其转化为m对MOD的余数，即length(n, m) = length(n, m % MOD).
Step 2.
when n > m, C(m, n) = 0.
考虑到这一点，length(n, m) = length(min(n, m), m).
Step 3.
C(m, 1) = m C(m, i+1) = C(m, i) * (m-i) / (i+1) = C(m, i) * (m-i) * (i+1) ^ (MOD-2) （同模MOD意义下的相等）
考虑到这一点，在计算每个组合数对大素数的余数时，我们可以迭代地计算。
另外，考虑到评测系统会运行多个测试样例，为了效率，我们可以先把1 ^ (MOD-2), 2 ^ (MOD-2), ...的结果存储下来，防止在使用时进行重复计算。
执行完这三步就能通过这道题。代码不放了。
