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一道看似暴力实则要动脑筋的题

题目描述

已知 $n$ 个整数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，以及 $1$ 个整数 $k（k<n）$。从 $n$ 个整数中任选 $k$ 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 $n=4，k=3，4$ 个整数分别为 $3,7,12,19$ 时，可得全部的组合与它们的和为：

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：$3+7+19=29$.

输入格式

第一行两个空格隔开的整数 $n,k（1≤n≤20，k<n）$。

第二行 $n$ 个整数，分别为 $x_1,x_2,\cdots,x_n（1 \le x_i \le 5\times 10^6）$。

输出格式

输出一个整数，表示种类数。

输入输出样例

输入

4 3
3 7 12 19

输出

1

思路：真的有看上去这么简单吗？

大家第一眼看到这个题，就会发现，对对于题目的样例，直接来３个for 循环暴力遍历不就可以了吗？？？

然而，这其中的ｋ是变化的。也就是说，ｋ＝４时，你要搞４个ｆｏｒ循环，ｋ＝２０时你要搞２０个for循环．．．

不瞒你说还真有人这样做了：

if (k==2)  
     {
      for (int i=1;i<=n-1;i++) 
       for (int i1=i+1;i1<=n;i1++) 
        if (zs(a[i]+a[i1])) s++;//计算
        return;
     }
   ...
    if (k==5)  
     {
       for (int i=1;i<=n-4;i++) 
        for (int i1=i+1;i1<=n-3;i1++) 
         for (int i2=i1+1;i2<=n-2;i2++) 
          for (int i3=i2+1;i3<=n-1;i3++)
           for (int i4=i3+1;i4<=n;i4++)
          if(zs(a[i]+a[i1]+a[i2]+a[i3]+a[i4]))s++;
          return;
     }
   ...

看到这种代码我只能说，凑代码行数算是给你整明白了（当然也没有嘲讽写这种代码的人的意思）

不用for循环解决遍历问题？

让我们祭出一个大杀器：递归。

我们观察一下遍历的过程：

用$k$个下标$i_1,...,i_k$来表示选中的数字。

如何遍历$i_1,...,i_k$？通常的做法是:

固定$i_1,...,i_k$的顺序，让 $i_1$ 至 $i_k$ 始终从左至右。 那么遍历的方法是，把 $i_1$ 固定在所有可以占据的位置上，然后 $i_2,...,i_k$ 在 $i_1$ 右边的区间递归的遍历。

比如一个区间 $[1,20]$ , 如何遍历 $i_1,...,i_10$？那就是先令 $i_1$ 为1，然后让问题等价于 在区间 $[2,20]$ , 如何遍历 $i_2,...,i_10$；再令 $i_1$ 为 $2$，然后让问题等价于 在区间 $[3,20]$ , 如何遍历 $i_2,...,i_10$...知道 $i_1$ 为 $11$ 时再在区间 $[12,20]$ , 遍历 $i_2,...,i_10$，那么整个遍历结果就出来了。

这样想的话，我们就能够通过很多子问题来解决父问题了，这就意味着我们可以写递归函数了！

void recur(int i,int remain,int now){
	if(remain==1){
		for(;i<=n-remain;i++){
			//if(!isnot[arr[i]+now])cnt++;
			if(prime(arr[i]+now))cnt++;
		}
		return;
	}
	for(;i<=n-remain;i++){
		recur(i+1,remain-1,now+arr[i]);
	}
	return;
}

其中i是遍历区间的起始点（重点是n-1），remain是还有多少个下标需要遍历，now是前面的数字固定时，遍历到这个子问题时已经确定的加和。

全部代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=(int)1e8;
int arr[30];
int isnot[maxn];
int cnt;
int n,k;
int prime(int n){
	if(n==2)return 1;
	for(int i=2;i<=sqrt(n)+1;i++){
		if(n%i==0)return 0;
	}
	return 1;
}
void recur(int i,int remain,int now){
	if(remain==1){
		for(;i<=n-remain;i++){
			//if(!isnot[arr[i]+now])cnt++;
			if(prime(arr[i]+now))cnt++;
		}
		return;
	}
	for(;i<=n-remain;i++){
		recur(i+1,remain-1,now+arr[i]);
	}
	return;
	
}

int main(){
	
	cin>>n>>k;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>arr[i];
	}
	recur(0,k,0);
	cout<<cnt;
}