LeetCode 416.分割等和子集

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题目：给定一个只包含正整数的非空数组nums。判断是否可以将此数组分割成两个子集，使得两个子集的元素相等。

解题思路

首先题目我们不能纠结这两个子集是啥，我们只需要判断是否可以分割成功即可。那么思路就来了：

• 两个子集之和元素相等，即两个子集相减等于0。即非空数组中在每个元素前加+或者-，使得最终的等式之和为0。

上面这个思路和Leetcode 494目标和那题就很像了，只不过此处的目标和为0。那么按照那题的思路，我们直接来个回溯，对所有的可能进行判断，代码如下：

public boolean canPartition(int[] nums) {
    return canPartition(nums, 0, 0);
}

public boolean canPartition(int[] nums, int index, int curSum){
    if(index==nums.length){
        if(curSum==0){
            return true;
        }
        return false;
    }
    boolean add = canPartition(nums, index+1, curSum+nums[index]);
    boolean sub = canPartition(nums, index+1, curSum-nums[index]);
    return add || sub;
}

时间复杂度为$O(2^n)$，最终超出时间限制，但思路肯定是ok的。

思路转换

上述的两个子集，我们假设分别为pA和pB，那么就有：

即找到nums中的一组元素，使得元素总和为$\frac{sum}{2}$，此处要求sum必须是偶数，如果是奇数则必定不可能组成。转换之后的问题即变成01背包问题，即背包总重量为$\frac{sum}{2}$，现要求在nums数组中寻找物品，使得物品总重刚好等于背包重量。则根据背包思路可得：

public boolean canPartition2(int[] nums){
    int sum = 0;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        sum += nums[i];
    }
    if(sum % 2 == 1) return false;
    int weight = sum / 2;
    // dp[i][j]  0-i的物品装入重量j的背包可装方式有多少种
    // 如果i物品不装 dp[i][j] = dp[i-1][j]
    // 如果i物品装,则剩下i-1件物品要装入重量为j-nums[i]的背包中 dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]
    // 则不超重量的前提下：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]
    int[][] dp = new int[nums.length+1][weight + 1];
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        dp[i][0] = 1;
    }
    for(int i=1;i<=nums.length;i++){
        for(int j=1;j<=weight;j++){
            if(nums[i-1]>j){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]];
            }
        }
    }
    if(dp[nums.length][weight]!=0) return true;
    return false;
}

背包空间优化，此时要注意的就是背包的顺序从原来的从小到达变成了从大到小，以此保证每个物品只被放入一次：

public boolean canPartition3(int[] nums){
    int sum = 0;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        sum += nums[i];
    }
    if(sum % 2 == 1) return false;
    int weight = sum / 2;
    // dp[i] 物品装入重量为i的背包有多少种方式。
    int[] dp = new int[weight + 1];
    dp[0] = 1;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        for(int j=weight;j>=nums[i];j--){
            dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]];
        }
    }
    if(dp[weight]!=0) return true;
    return false;
}