离散数学
1.1 命题与命题链接词
1.1.2 符合命题链接词
-
否定 ┐P
-
合取
P ∧ Q 可得 ┐(P ∧ Q)<=>┐P∨┐Q -
析取
P ∨ Q 可得 ┐(P ∨ Q)<=>┐P∧┐Q -
☆条件
P:明天下雨 Q:明天睡懒觉 P → Q P → Q <=>┐P∨Q 证明 若P为1，Q为1,则P→Q为1 若P为1，Q为0,则P→Q为0 若P为0，Q为1,则P→Q为1 若P为0，Q为0,则P→Q为1 -
双条件
P↔Q P当且仅当Q
考试常考条件命题:
1.只要P，就Q。
P→Q2.因为P，所以Q。
P→Q3.只有P，才Q。
Q→P4.除非P，否则Q。
┐Q→P┐P→QP∨T<=>T;P∧T<=>P
P∧┐P<=>F;P∨┐P<=>T;
德摩根律┐(P ∨ Q)<=>┐P∧┐Q ；┐(P ∧ Q)<=>┐P∨┐QP → Q <=>┐P∨Q
1.2命题公式的等值演算
1.2.1命题公式
-
指派
设A为命题 对A中所有的命题变元指定一个值
-
构造真值表 (P ∧ Q)→R
P Q R P ∧ Q (P ∧ Q)→R 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 填空 (P ∧ Q)→R 的假指派是 1 1 0
1.2.2 等值演算与蕴涵式
给定命题公式A,B 若对于任何一组指派，A和B的真值都相同 成A，B是等值或等价的，记作A<=>B
填空题
- 设A为命题公式，若在各种指派情況下 ，其取值均为丁，则称A为
重言式，或永真式。如 P∨┐P <=>T , P ∨ T <=>T
- 设A为命题公式，若在各种指派情况下，其取值均为F，则称A为
矛盾式，或永假式。如 P∧┐P <=>F , P ∨ F <=>F
应用题
证明 等价
- P → Q <=>┐P∨Q 可以用构造真值表
| P | Q | ┐P | P → Q | ┐P∨Q |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
-
※常用命题定律(等值演算法)
1. 交换律： A ∨ B <=> B∨A， A ∧ B <=> B ∧ A 2. 结合律： (A ∨ B) ∨ C <=> A ∨ (B∨C) <=> A ∨ B∨C (A ∧ B) ∧ C <=> A ∧ (B ∧ C) <=> A ∧ B ∧ C 3. 分配律： (A ∧ B) ∨C <=> (A∨C) ∧ (B∨C) (A∨B) ∧ C <=> (A ∧ C) ∨(B ∧ C) 4. 德摩根律: ┐(A ∧ B) <=> ┐A ∨ ┐B ┐(A ∨ B) <=> ┐A ∧ ┐B 6. 吸收律： (A ∧ B) ∨ A <=> A (A ∨ B) ∧ A <=> A -----上面比较重要 7. 零律： A ∨ E <=> E , A ∧ E <=> A 8. 同一律： A ∨ Ø = A，A ∧ E<=> A , A ∨ E <=> E , A ∧ Ø <=> Ø 9. 矛盾律： A ∧ A┐ <=> Ø 10. 排中律： A ∨ A┐ <=> E 11. 余补律： ┐Ø <=> E , ┐E <=> Ø 12. 双重否定律： ┐(┐A) <=> A 13. 补交转换律： A - B <=> A ∧ ┐B例子
(┐P∨┐Q)->P<=>P
(┐P∨┐Q)->P
<=>┐(┐P∨┐Q)∨P
<=>(P∧Q)∨P
<=>P 根据吸收律
1.3 连接词完备集
- 定理
- P↑Q<=>┐(P∧Q) 符号↑是与非联结词
- P↓Q<=>┐(P∨Q) 符号↓是或非联结词
2.1 范式
概念
简单析取式由 ┐和∨ 组成 如 P∨┐Q∨R简单合取式由 ┐和∧ 组成 如 P∧┐Q∧R
※※大项与小项
-
小项N个命题变元的
简单合取式，称为小项 ，小项 N 个命题变元的小项又2^N个例子: P和Q的小项又4个：P∧Q，┐P∧Q，P∧┐Q，┐P∧┐Q小项的编码:
mi其中 i 是使得小项等于1的一组指派的二进制表示。例子:小项的P∧Q的编码是m11,小项P∧┐Q∧R 的编码是m101 -
大项N个命题变元的
简单析取式，称为大项 ，大项 N 个命题变元的大项又2^N个例子: P和Q的大项又4个：P∨Q，┐P∨Q，P∨┐Q，┐P∨┐Q大项的编码:
Mi其中 i 是使得小项等于0的一组指派的二进制表示。例子:小项的P∨┐Q的编码是M01,小项┐P∨┐Q∨R 的编码是M110 -
主析取范式 它仅由小项的析取所组成
例子: 若A<=>B，B=mi∨mj∨...,则B是A的主析取范式 mi,mj是小项 -
主合取范式 它仅由大项的析取所组成
例子: 若A<=>B，B=Mi∧Mj∧...,则B是A的主合取范式 Mi,Mj是大项※真题 用
真值表法求(P→Q)∧(Q→R)的主析取范式，主合取范式：P Q R P→Q(仅当p=1,Q=0 才P→Q=0) Q→R(仅当Q=1,R=0 才Q→R=0) (P→Q)∧(Q→R) 0:大项/1:小项 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 真值为T的小项：
m000:┐P∧┐Q∧┐R , m001:┐P∧┐Q∧R , m011:┐P∧Q∧R , m111:P∧Q∧R真值为T的大项：
m010:P∨┐Q∨R , m100:┐P∨Q∨R , m101:┐P∨Q∨┐R , m110:┐P∨┐Q∨R答案:
(P→Q)∧(Q→R)的主析取范式为 (┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) (P→Q)∧(Q→R)的主合取范式 (P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)
2.2※※主范式
用等值演算法求主析取范式的步骤： （1）如果有→；用P→Q<=>┐P∨Q消去→ （2）如果有┐出现在括号前面；用德摩根律：┐(A∨B)<=>┐A∧┐B或┐(A∧B)<=>┐A∨┐B ，让┐出现在命题变元前面 （3）如果不是析取形式；用分配律：A∧(B∨C) <=> (A∧B)∨ (A∧C)，保证在主析取范式中不出现A ∧(B∨C) (4）第（3）步结束后，可得到简单析取式，若简单析取式A中缺少变元P，通过如下变换增加变元P：
A<=>A∧(P∨┐P) <=>(A∧P)∨ (A∧┐P)，再使用分配律 ，去掉重复的小项即可得到主析取范式。
※真题 用等值演算法求(P→Q)∧(Q→R)的主析取范式，主合取范式：
主合取范式：
(P→Q)∧(Q→R)
<=>(┐P∨Q)∧(┐Q∨R)
因为主合取范式的形式是(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)类似这样所以
第一个子项加`R`，`┐R`,
第二个子项加`P`，`┐P`得到
<=>(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)
主析取范式：
(P→Q)∧(Q→R)
<=>(┐P∨Q)∧(┐Q∨R)
用分配律 先把(┐Q∨R) 看成一个固定的值
<=>(┐P∧(┐Q∨R))∨(Q∧(┐Q∨R)) 再用分配律
<=>(┐P∧┐Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧┐Q)∨(Q∧R) ∨(Q∧┐Q)=>F可以省略
<=>(┐P∧┐Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)
因为主析取范式的形式是(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)类似这样所以
第一个子项加`R`，`┐R`,
第二个子项加`Q`，`┐Q`，
第三个子项加`P`，`┐P`得到
<=>(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)
∨(┐P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)
∨(P∧Q∧R)∨ (┐P∧Q∧R)
因为(┐P∧┐Q∧R) (┐P∧Q∧R) 有重复所以消掉
<=>(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
2.3※※自然推理系统
常用的推理规则： 1 前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称
P规则。 2 结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论可作为后续证明的前提，称为T共 3 转换规则：在证明的任何步骤上，等值的命题公式可以相互置换，也称为T规则。 如用P一>Q置换 ┐PvQ(填空)前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以
引入前提，简称P规则※※推理公式
1.A->B<=>┐B->┐A 证明步骤 左<=>┐A∨B 右<=>┐(┐B)∨┐A<=>B∨┐A 左<=>右 2.A;A->B=>B 证明步骤 A是1，A->B是1 可以推出来 B=1 3.A->B;B->C=>A->C 证明步骤 A->B是1，B->C是1 可以推出来 A->C=1
应用题
※真题
【1404真题】构造下列推理的证明：如果他训练刻苦，他必赢得比赛；如果他赢得比赛，他必得到总理的接见；总理没有接见他：所以他训练不刻苦。
P：他训练刻苦;Q：他赢得比赛；R：他得到总理的接见
前提：P->Q;Q->R;┐R
结论：┐P
草稿：P->Q;Q->R=>P->R=>┐R->┐P 运用公式顺序 3，1
┐R;┐R->┐P=>┐P 运用公式顺序 2
证明:
1 P->Q P规则
2 Q->R P规则
3 P->R T(1)(2)
4 ┐R->┐P T(3)
5 ┐R P规则
6 ┐P T(4)(5)
【1504真题】如果小明没有去上学，那他一定是生病了。如果小明生病了，他就会在家休息。
只要小明去上学，他就会在教室认真学习。小明要么在教室认真学习，要么在家休息。符号化上
述推理过程，并构造推理证明。
P：小明去上学;Q：小明生病;R：小明在家体息;S：小明在教室认真学习
前提：┐P->Q;Q->R;P->S
结论：R ∨ S
草稿：┐P->Q;Q->R=>┐P->R=>┐R->P
┐R -> P; P->S=>┐R -> S=> R∨S
证明：
1 ┐P->Q P规则
2 Q->R P规则
3 ┐P->R T(1)(2)
4 R-P T(3)
5 P->S P规则
6 ┐R->S T(4)(5)
7 R∨S T(6)
3.1谓词的概念与表示
谓词主语的某一个性质
老王是大学生 〞是大学生” 是谓词 用a表示“老王”，用P表示“是大学生〞 则”老王是大学生〞 表示为P(a) ＞主语可以是特定的个体，称为个体常项，用a，b，c表示； ＞也可以是泛指的个体，称为个体查量，用x，y，z表示；
其中，P表示
性质，x表示变量例子:
P(x)：x是坏人;a：老王 P(a)：老王是坏人 P(x)：x的学历是本科；Q(X）：x的哥哥;a：老王 P[Q(a)] : ? Q(a)：老王的哥哥 P[Q(a)]：老王的哥哥的学历是本科。 P(x,y)：x大于y P(5,4) ^P(4,3) ->P(5,3) :如果5大于4，且4大于3，则5大于3
用谓语表达下列命题：小张年满18周岁，身体健康，所以它可以参军。
设a :小张；P(x)：x年满18周岁 Q(x) ：x身体健康 R(x)：x可以参军
P(a)∧Q(a)->R(a)
用谓语表达下列命题：只要3小于1，2就小于1
设P(x):x小于1
P(3)->P(2)
用谓词表达下列命题 ：只要是人，就需要呼吸。 设P(x)：x是人;Q(x)：x需要呼吸 P(x)->Q(x)
3.2谓词与合式公式
3.2.1全称量词
∀称为全称量词 ∀xP(x)表示P(x)的全称量化，即命题 “对x在其论域中的所有取值，P(X)为真”
论域即x的取值范围
论域为{4,5},P(x)：x大于3 ∀xP(x) 任意一个x，P(以)都是真命题 ∀xP(x)<=>P(4)^P(5)
3.2.2存在量词
∃称为存在量词 ∃xP(x)表示P(x)的存在量化，即命题 “论域中至少存在一个x，使P(x)为真”
论域为{2,4}，P(x)：x大于3 ∃xP(x) 存在一个x使得P(x)是真命题 ∃xP(x)<=>P(2)∨P(4)
3.2.3谓词合式公式
用
┐ ∧∨→↔把谓词函数联结起来注：谓词合式公式中不能出现
<=>,=>例：∀x(P(x)->Q(x)) ,∃x(P(x)∧Q(x))
3.2.3自由变元，约束变元（指导变元），辖域
在∃，∀后面的x叫约束变元，其他的都叫自由变元
(∀x)(∃y)(P(x)∧Q(y)) ∀x 的辖域为(P(x)∧Q(y)) ∃y 的辖域为(P(x)∧Q(y))
※※(选择题)谓词题汇总
含所有的一般 都是-> 含有些,存在 的一般都是 ∧ 例子在上面
【题目】 所有人都需要呼吸。 符号化:
P(x):x是人 ；Q(x):x需要呼吸
∀x(P(x)->Q(x))
【题目】 有些人可以活到100岁 符号化:
P(x):x是人 ；Q(x):x可以活到100岁
∃x(P(x)∧Q(x))
【题目】任何一个数，只要是整数，平方就大于0 符号化:
表示方法一:
P(x)：x是整数,Q(x):x的平方大于0
∀x(P(x)->Q(x))
表示方法二:
R(x)：x是整数,P(x):x的平方,L(x):x大于0
∀x(R(x)->L(P(x)))
【题目】※ ∃xF(x,y)
在∃，∀后面的x叫约束变元，其他的都叫自由变元 ,比如例子的y
(∀x)(∃y)(P(x)∧Q(y))
∀x 的辖域为(P(x)∧Q(y))
∃y 的辖域为(P(x)∧Q(y))
【题目】※ 没有最小的实数 符号化:
【翻译翻译什么叫tm的惊喜:任何一个实数x，都存在一个实数比他更小】
P(x):x是实数 ；L(x,y):x<y;
∀x( R(x)->∃y(R(x)∧L(y,x)) )
【题目】※ 并不是所有在美国的留学生都是亚洲人 F(x)：x是在美国的留学生,G(y):y是亚洲人 符号化:
【翻译翻译什么叫tm的惊喜:┐(所有在美国的留学生都是亚洲人)<=>(并不是所有在美国的留学生都是亚洲人)】
┐(所有在美国的留学生都是亚洲人)
<=>┐∀x(F(x)->G(y))
3.3谓词演算的等价式与蕴涵式
论域为{2，3}
∀xP(x)<=>P(2)^P(3)
∃xP(x)<=>P(2)∨P(3)
∀x∀yP(x,y)<=>P(2,2)^P(2,3)^P(3,2)^P(3,3)
∃x∃yP(x,y)<=>P(2,2)∨P(2,3)∨P(3,2)∨P(3,3)
∃x∀yP(x,y)<=>∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
<=>(P(2,2)^P(2,3))∨(P(3,2)^P(3,3))
∀x∃yP(x,y)<=>∃yP(2,y)^∃yP(3,y)
<=>(P(2,2)∨P(2,3))^(P(3,2)∨P(3,3))
前束范式∀x∃x 在开头的是 如：∀x∃x(P(x)->Q(x))
※※(应用题)求真值
【题目】给定解释如下：论域D={2，3}
F(x)的定义如下：F(2)=0,F(3)=1
G(x)的定义如下：G(2)=1,G(3)=0
求∀x(F(x)->G(x))的真值
∀x(F(x)->G(x))
<=>(F(2)->G(2))^(F(3)->G(3))
<=>(0->1)^(1->0)
<=>1^0
<=>0
【题目】给定解释如下：论域D={2,3}
P(x,y)的定义如下：P(2,2)=P(3,3)=0,P(2,3)=P(3,2)=1
Q(x,y)的定义如下：Q(2,2)=P(3,3)=P(2,3)=0，P(3,2) =1
求∃x∃y(P(x,y) Q(x,y))的真值。
∃x∃y(P(x,y) Q(x,y))
<=> (P(2,2) ∧ Q(2,2)) v (P(2,3) ∧ Q(2,3)) v(P(3,2) ∧ Q(3,2)) V (P(3,3) ^ Q(3,3))
<=> (0 ∧ 0) v (1 ∧ 0) v(1 ∧ 1) V (0 ^ 0)
<=> 0v0v1v0
<=> 1
【真题】设解释1如下：D={2,3}，
已知F(2,2)=F(3,3)=0，F(2,3)=F(3,2)=1,
f(2,2)=(2,3)=2,f(3,2)=f（3,3)=3。
求谓词公式(∀x)(∀y)(F(x,y)->F(f(x,y),x))在I下的真值。
(∀x)(∀y)(F(x,y)->F(f(x,y),x))
<=>(F(2,2) ->F(f(2,2),2)) ∧ (F(2,3) ->F(f(2,3),2)) ∧ (F (3,2) -> F(f(3,2),3)) ∧ (F(3,3) -> F(f(3,3), 3))
<=>(0->F(2,2)) ∧ (1 ->F (2,2)) ∧ (1 ->F (3,3)) ∧ (0-›F (3,3))
<=>(0->0) ∧ (1->0) ∧ (1->0) ∧ (0->0)
<=>1∧0∧0∧1
<=>0
3.4谓词演算的推理理论
对于两个谓词公式，所得的命题相同，则称A<=>B
3.4.1谓词等值公式
┐∃xP(x)<=>∀x┐P(x)
┐∀xP(x)<=>∃x┐P(x)
P(x):x是长命百岁的人 ┐∃xP(x):不存在长命百岁的人 ∀x┐P(x):任何人都不能长命百岁
∃x(A(x)∧B(x))<=>∃xA(x)∧∃xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))<=>∃xA(x)∨∃xB(x)
∀x(A(x)∧B(x))<=>∀xA(x)∧∀xB(x)
∀x(A(x)∨B(x))<=>∀xA(x)∨∀xB(x)
※消去,引入存在量词，全称量词规则
存在量词消去规则，记为
∃-若∃xP(x)为真，则在论域中存在个个体c，使得P（c)为真。 ∃xP(x) =>P(c)全称量词消去规则，记为
∀-若∀xP(x)为真，且c是论域中的任意一个个体，则P(c)为真. ∀xP(x)=>P(c)存在量词引入规则，记为
∃+如果已知论域中某个个体c使得P(c)为真。∃xP(x)为真 P(c)=>∃xP(x)
※证明题
等值演算:∀x(A(x)->B)<=>∃xA(x)->B
左<=>∀x(A(x)->B)
<=>∀x(┐A(x)∨B)
<=>∀x(┐A(x)∨B) 因为∀x(A(x)∨B(x))<=>∀xA(x)∨∀xB(x)
<=>∀x┐A(x)∨B ※因为B是固定命题不受∀x影响
<=>┐∃xA(x)∨B 因为┐∃xP(x)<=>∀x┐P(x)
<=>∃xA(x)->B
左<=>右
【1804真题】证明下列谓词为永真式 ∀y(∀xA(x)->A(y))
∀y(∀xA(x)->A(y)
<=>∀y(┐∀xA(x)∨A(y))
<=>∀y(┐∀xA(x))∨∀yA(y) ※因为 ∀y指导变元 ┐∀xA(x)是辖域 指导变元只能约束 约束变元 ┐∀xA(x)这里边只有自由变元所以 ∀y什么都指导不了
<=>┐∀xA(x)∨∀yA(y)
<=>┐∀xA(x)∨∀xA(x) 因为P∨┐P<=>T
<=>T
【1804真题】证明下列谓词为永真式 ∀y(A(y)->∃xA(x))
∀y(A(y)->∃xA(x))
<=>∀y(┐A(y)∨∃xA(x))
<=>∀y┐A(y)∨∃xA(x)
<=>┐∃yA(y)∨∃xA(x)
<=>┐∃xA(x)∨∃xA(x)
<=>T
【1410真题】符号化下列命题，并构造推理证明。
一个人只有努力，才能获得成功；每个人或者获得成功 ，或者曾经失败过；有些人末曾失败过，所以有些人很努力。
P(x)：努力;Q(x)：x获得成功：R(x)：x曾经失败过
前提：∀x (Q(x)->P(x));∀x(Q(x)∨R(x))；∃x┐R(x)
结论：∃xP(x)
草稿：∃x┐R(x)=>┐R(c) 因为 存在一个数是R(x) 设存在的值为c 所以 ┐R(c)
∀x ( Q(x)->P(x)) => Q(c)->P(c) 因为 任意x 都可以Q(x)->P(x) 所以可以吧 c带进去 Q(c)->P(c)
∀x ( Q(x) ∨ R(x) ) => Q(c) ∨ R(c) => ┐Q(c) ->R(c) => ┐R(c) -> Q(c)
┐R(c) -> Q(c), Q(c) -> P(c) => ┐ R(c)->P(c)
┐R(c) , ┐R(c) ->P(c) =>P(c) =>∃xP(x)
结论：∃xP(x) P规则
(1) ∃x┐R(x) ∃-(1)
(2) ┐R(c) P规则
(3) ∀x ( Q(x)->P(x)) P规则
(4) Q(c) -> P(c) ∀-(3)
(5) ∀x ( Q(x) ∨ R(x) ) P规则
(6) Q(c) ∨ R(c) ∀-(5)
(7) ┐Q(c) ->R(c) T(6)
(8) ┐R(c) -> Q(c) T(7)
(9) ┐R(c) ->P(c) T(4)(8)
(10) P(c) T(2)(9)
(11) ∃xP(x) ∃+(10)
4.1集合的基本概念
A={1,2,3} ， 1∈{1,2,3} , 4∉{1,2,3} |A| ：集合A包含的元素的个数 称为基数
A={} 是空的话 记为 φ φ是子集不是元素
|φ|=0
集合表示
1)列举 如{1,2,3,4,5,6,7}
2)描述 {x|x是偶数}
3)图示 S=A∩B
A⊆B A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
每一个集合 都成立 A⊆A ,⊆A
真子集 A⊂B A是B的真子集(排除A=B) ，E是全集
幂集 记作P(A) 以A的所以子集为元素，A如果有n个元素，则A的幂集P(A)有2^n个元素
列子:A={1,2},求P(A) A的子集有：φ，{1}，{2}，{1，2} P(A)={φ，{1}，{2}，{1，2}}
※选择题
设S={φ，{1}，{1，2}}，则既是S的元素又是S的子集的为(B)
A:{1}
B:φ
C:{φ}
D:{1，2}
解析:φ≠{φ}
【填空】集合的关系 文氏图
4.2 集合的运算
交集
A={1,2,3} B={3,4,5} ,A∩B={3}
并集
A={1,2,3} B={3,4,5} ,A∪B={1,2,3,4,5}
差集
A={1,2,3} B={3,4,5} A-B={1，2}。A={1,2} B={1，2，3} A-B=φ
补集
E={1,2,3,4,5}, A={3,4,5} , ~A={1,2}
加法 ⊕
对称差A⊕B 其元素要么属于A，要么属于B，但是不能既属于A又属于B
A⊕B=(A∪B)-(A∩B)
列子 A={1,2,3} B={3,4,5} A⊕B={1,2,4,5}
5.1关系及关系的性质
关系定义表示
若集合R是AxA的子集，则称R是集合A上的二元关系 ，简称关系
例：A=(1,2)，AxA=1<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}，AxA的任何一个子集都是A上的关系 如：R={<1,1>，<2,2>}是A上的关系
若集合R是AxB的子集，则称R是从A到B的关系
例：A={1,2},B={3,4}，AxB={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>] R={<1,3>,<1,4>1是从A到B的关系
称IA={<x,x>|x∈A}为A上的恒等关系
例：A={2,3},则A上的恒等关系为 IA={<2,2>,<3,3>}
关系矩阵：设集合A={x1,x2,x3,x4)，若<xi,xj>ER，则R的关系矩阵的第行、第列为1，其他位置为0
如果有关系<a,b>成立，矩阵中相应元素则为1,否则为0 矩阵 y₁ y₂ y₃ x₁ ___ ___ ___ x₂ ___ ___ ___ x₃ ___ ___ _
**【1204真题】**设R={<1,3> ，<1,4> ，<2,3>，<3,1>,<3,4>，<4,2>}是A={1,2,3,4}上的关系，写出R的关系矩阵。
0 0 1 1 y₁ y₂ y₃ y4
0 0 1 0 x₁ 0 0 1 1
1 0 0 1 x₂ 0 0 1 0
0 1 0 0 x₃ 1 0 0 1
x4 0 1 0 0
关系的性质
自反：若∀a∈A 必有 <a,a> ∈R,则R是
自反的(关系矩阵对角线都为1)例：A={1,2,3},R={<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }
1 0 0
0 1 0
0 0 1
反自反:若∀a∈A 必有 <a,a> ∉ R,则R是
自反的(关系矩阵对角线都为0)例：A={1,2,3},R={<1,2> ,<1,3> ,<2,1>,<2,3> ,<3,1>,<3,2>}
0 1 1
1 0 1
1 1 0
**对称：**若 <a,b> ∈ R 必有 <b,a> ∈ R,则称 R是
对称的(关系矩阵 rij=rji,即为对称矩阵)例：A={1,2,3},R={<1,2> ,<2,1> ,<1,1>,<2,2> } ,R={<1,3> ,<3,1> ,<2,3>,<3,2>}
1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0
反对称： 若 <a,b> ∈ R 必有 <b,a> ∉ R,则称 R是
反对称的(关系矩阵 rij=rji不能同时为1,即关于对角线对称的元素不能同时为1)例：A={1,2,3},R={<1,2> ,<1,3>} ,R={<1,2> ,<2,3> ,<3,1>}
0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0
**传递：**若<a,b> ∈R , <b,c> ∈R 必有<a,c> ∈R 则R是
传递的例：A={1,2,3},R={<1,2> ,<2,3>,<1,3>}
例：A={1,2,3,4},R={<1,2> ,<1,3>,<2,4>,<1,4>}
5.2关系的运算
复合关系
**RoR记为R^2. **
例：R={<1,2>,<2,3>, <3,4>}
R^-1={<2,1>,<3,2>, <4,3>} 颠倒下方向设集合R、S都是关系，RoS 为R和S的复合关系(传递)，表示为 RoS ={<x,y>|<x,t>∈R,<t,y>∈S}
例：R={<1,2>},S={<2,1>,<2,3>} RoS={<1,1>,<1.3>} 例：R={<2,3>},S={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} RoS={<2,2>,<2,3>} 例：R={ <1,2>,<2,3>},S={<2,3>,<3,4>} RoS={<1,3>,<2,4>}
例：R={<1,2>,<2,3>} R^2 ={<1,3>} 例：R={<1,2>,<2,2>,<2,3>} R^2 ={<1,2>, <1,3>, <2,2>, <2,3>}
关系的闭包
设尺是A上的关系，在R的基础上进行最小的扩 充即可得到R的闭包：
r(R)是自反闭包，S(R)是对称闭包，t(R)是传递闭包。例：A={1,2,3}，R={<1,2>,<2,3>}
自反闭包
r(R) ={<1,2>,<2,3>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}
对称闭包
s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}
传递闭包
t(R)={<1,2>,<2,3>,<1,3>}
5.3 等价关系与序关系
等价关系
设P是集合A上的关系，若P是自反的、对称的，则称P是
相容关系设R是集合A上的关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是等价关系例：A={1,2,3}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>} 相容关系,等价关系 R={<1,1>, <2,2>, <3,3>, <1,3>, <3,1>, <1,2>, <2,1>} 相容关系
结论
若R、S是集合A上的相容关系（ 等价关系），则R∩S、R∪S、R^1、S^1一定也是相容关系（等价关系）,但RoS不一定是相容关系（等价关系）
集合A的划分：若S1∪S2∪...=A，且Si∩Sj=φ，则称集合S={S1,S2,…}是集合A的一个划分。 (A∪B)-(A∩B) 例：A={1,2}，则{{1},{2}}是A的一个划分，{{1,2}}也是A的一个划分 例：A=(1,2,3}，则A的划分有：
{{1} , {2} , {3)},
{{1,2},{3}},
{ {1},{2,3}},
{{2},{1,3}},
{{1,2,3}}
设集合A有3个元素，则A的划分有5个。
※※真题(不懂背就完了)
<a,b>
自反:<a,a> --<<a,b>,<a,b>>
对称:<a,b>,<b,a> --<<a,b>,<c,d>>与<<c,d>,<a,b>>有关系
传递:<a,b>,<b,c>,<a,c> --<<a,b>,<c,d>>与<<c,d>,<e,f>>有关系 则得到<<a,b>,<e,f>> 有关系
※【1204真题】设A=(<a，b>|a，b为正整数}，在A上定义二元关系化如下：<a，b>~<c,d>当且仅当a+b=c+d。
证明：~是一个等价关系。
(1)自反性：a+b=a+b，即<a,b>~<a,b>
(2)对称性：若a+b=c+d，则必有c+d=a+b，即若<a,b>~<c,d>，则必有<c,d>~<a,b>
(3)传递性：若a+b=c+d，且c+d=e+f，则必有a+b=e+f，即若<a,b>~<c,d>，且<c,d>~<e,f>，则必有<a,b>~<e,f>
※【1404真题】设A={＜a，b>|a，b为正整数}，在A上定义二元关系~如下：<a,b>~<c,d＞ ，当且仅当a-d=c-b。
证明：~是一个等价关系。
(1)自反性：a-b=a-b，即<a,b>~<a,b>
(2)对称性：若a-b=c-d，则必有c-d=a-b，即若<a,b>~<c,d>，则必有<c,d>~<a,b>
(3)传递性：若a-b=c-d，且c-d=e-f，则必有a-b=e-f，即若<a,b>~<c,d>，且<c,d>~<e,f>，则必有<a,b>~<e,f>
※※【真题】：A=(1,2,3}，则A的划分有：
{{1} , {2} , {3)},
{{1,2},{3}},
{ {1},{2,3}},
{{2},{1,3}},
{{1,2,3}}
由{{1} , {2} , {3)} 可得等价关系:{<1,1>,<2,2>,<3,3>}
由{{1,2},{3}}, 可得等价关系:{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}
...
※※※【真题】S={{1,2}，{3}，{4,5}}是集合A={1,2,3,4,5}上的一个划分 ，写出由S导出的A上的等价关系P。
P={<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,3>, <4,4>, <4,5>, <5,4>, <5,5>}
关系矩阵:
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
序关系
设R是集合A上的关系，若R是
自反的、反对称的、传递的，则称R是偏序关系，记作≤ 集合A和A上的偏序关系≤一起称为偏序集 <A,≤偏序关系
例：整除关系≤是整数集上的偏序关系 例：设A={1,2,3,4}，≤是整除关系，则1≤1,2≤2,3≤3,4≤4,1≤2,1≤3 ,1≤4,2≤4, 即R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}
※覆盖：设偏序集<A,≤＞，若a<b，且不存在c使得a<c<b，则称b是a的
覆盖2和3都是1的覆盖，4是2的覆盖
※※※哈斯图
【真题】：设A={1,2,3,4,5,6}，≤是整除关系，则2,3,5是1的覆盖，4是2的覆盖，6是3的覆盖 哈斯图：（1）若a≤b，则将a画在b的下方；（2）若b覆盖a，在a与b之间画一条边。
【1710真题】设<A，|＞为偏序关系，其中|为整除关系，即a|b当且仅当a整除b。已知A={1,2,3,5,6,15,30}。画出这个偏序关系的哈斯图。
1<2,1<3,1<5;
2<6;
3<6,3<15;
5<15;
6<30;
15<30;
由上可得哈斯图
（1）若x比A中所有元素都大 ，称x是A的
最大元（2）若x比A中所有元素都小 ，称x是A的最小元（3）若A中不存在比x更小的元素，称x是A的极小元（4）若A中不存在比x更大的元素，称x是A的极大元例：设A={1,2,3,4}，≤是整除关系，则1≤1,2≤2,3≤3 ,4≤4,1≤2,1≤3,1≤4,2≤4, 1能整除所有元素，故
1是最小元，4不能被3整除，故不存在最大元。 能整除1的只有1，故1是极小元能被3整除的只有了，能被4整除的只有4，故3、4是极大元极小元，极大元一定存在，最小元，最大元不一定存在
5.4 函数
函数的概念
设函数y=f(x)以是一个X到Y的二元关系，x是函数的定义域，Y是西数的值域，记作：X->Y 西数满足以下条件：∀x∈X，存在唯一的y∈Y，使得y=f(x)
若x不等于y，必有f(x)≠f(y)，则称函数f是入射函数，或
单射函数例：f：P->Q，其中P={1,2,3},Q={1,2,3,4}, f(n)=n+1若∀y∈Y，都∃x∈X使得，f(x)=f(y)，则称函数什是
满射函数例：f：P->Q，其中P={1,2,3}, Q={2,3,4}, f(n)=n+1若函数既是单射的、又是满射的，则称f是
双射函数。只有双射函数 才有
反函数
符合函数fog
例：f(x)=2x+1；g(x)=x^2 (fog) (x)=2x^2+1 --g(x)代入到f(x) (gof) (x)=(2x+1)^2 --f(x)代入到g(x)
若fg都是单射的，则fog、gof是单射的 若f和g都是满射的，则fog、gof是满射的 若f和g都是双射的，则fog、gof是双射的
6.1代数系统
封闭，结合，交换律
在代数系统<A，*>中,∀ a,b,c∈A，
*可以是 + - * / ...
（1）若a * b∈A，则称运算 * 是封闭的
例：定义在整数集Z上的加法运算系统：<Z，+> √ 定义在整数集Z上的乘法运算系统：＜Z，×> √ 定义在整数集Z上的除法运算系统：＜Z，/> ×
（2）若a * (bc)=(a * b) c，则称运算 * 是可结合的，满足结合律
例：定义在整数集Z上的加法运算系统：<Z，+> √ 定义在整数集Z上的乘法运算系统：＜Z，×> √ 定义在整数集Z上的除法运算系统：＜Z，/> ×
(3）若a * b=b * a，则称运算 * 是可交换的，满足交换律
例：定义在整数集Z上的加法运算系统：<Z，+> √ 定义在整数集Z上的乘法运算系统：＜Z，×> √ 定义在整数集Z上的除法运算系统：＜Z，/> ×
真题
【真题】在整数集Z上，下列定义的运算满足结合律的是（D）
A: a*b=ab+1
B: a*b=a-2b
C: a*b=a+1
D: a*b=3ab
结合律为a * (b*c)=(a * b)* c
验证A: a * (b*c)
=a* (b*c+1) --把b和c 带入A式中
=a* (b*c+1)+1 --把a和(b*c+1) 带入A式中
=abc+a+1
(a * b)* c
=(a*b+1)* c --把a和b 带入A式中
=(a*b+1)* c+1 --把(a*b+1)和c 带入A式中
=abc+c+1
验证D: a * (b*c)
=3ab*c --把b和c 带入D式中
=3(3abc) --把3ab和c 带入D式中
=9abc
(a * b)* c
=a*3bc --把a和b 带入D式中
=3(3abc) --把3bc和a 带入D式中
=9abc
a * (b*c) =(a * b)* c 满足
幺元,零元,逆元
幺元
在代数系统<A，* >中， (1）若∀x∈A，都有e * x=x，则称e为左幺元 （2）若∀x∈A，都有x * e=x，则称e为右幺元 （3）当左幺元和右幺元相等时，即e既是左幺元，又是右幺元，则称e是
幺元（或单位元），即∀x∈A，都有e * x=x * e=x一个代数系统要么没有 幺元，要么有唯一的幺元
例：< Z ,+ >的幺元 0
< Z ,x >的幺元 1
零元
在代数系统<A，* >中， （1)若∀x∈A，都有0 * x=0，则称0为左零元 （2）若∀x∈A，都有x * 0=0，则称0为右零元 （3）当左零元和右零元相等时，即0既是左零元，又是右零元，则称0是
零元，即∀x∈A，都有0 * x=x * 0=0一个代数系统要么没有 零元，要么有唯一的零元
例：< Z ,+ >没有零元
< Z ,x >的零元 为0
【真题】设a={2,3,4,5},a * b=max(a,b)，代数系统＜A，* >的幺元是
2，零元5
逆元
代数系统中的特殊元素：逆元 在代数系统<A，* >中， （1）若b * a=e，则称b为a的左逆元 （2）若a * b=e， 则称b为a的右逆元 （3）当左逆元和右逆元相等时 ，即b既是左逆元，又是右逆元，则称b是a的
逆元，即b * a=a * b=e，记为b=a^-1，即a^-1 * a=a * a^-1=e一个代数系统要么没有 逆元，要么有唯一的逆元
例：< Z ,+ > a的逆元-a
< Z ,x > a的逆元 1/a
群与半群
半群和独异点
设<S，* >是代数系统，若运算 * 是
封闭的、可结合的，则称＜S，*＞为半群若<S，*＞为半群，则
∀a,b,c∈S, a * b ∈S
a * (b * c) = (a * b) * c
例：整数集 < Z ,+ > < Z ,x > 都是半群
< Z ,/ > 不是半群
若半群 <S，* > 中存在幺元，则称 <S，* >
独异点例：整数集上的加法<Z,+＞是半群，而且存在么元0，故是独异点 整数集上的乘法<Z,x>是半群，而且存在么元1，故是独异点
设<G，* >是一个独异点，若集合G中每一个元素都有
逆元，则称<G，* ＞为群例：整数集上的加法<Z,+＞是独异点，而且任何元素都是逆元，故是群 整数集上的乘法<Z,x>是半群，但是0没有逆元，故不是群
※※※ 证明一个代数系统是群： （1）封闭 （2）可结合 （3）有幺元 （4）任何元素都有逆元
※※※真题
【真题】在整数集Z上定义一个二元运算*如下：a*b=a+b+1，证明：＜Z，*＞是群。
(1)封闭性：
∀a,b∈Z,a*b=a+b-1∈Z，所以封闭
(2)可结合：
∀a,b，c∈Z.
(a*b)*c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2
a*(b*c)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2
(a*b)*c=a*(b*c)，所以满足结合律
(3)存在幺元:
假设存在幺元e，则
a*e=a+e+1=a 可得e=-1
∀a∈Z 必有(-1)*a=a*(-1),所以-1是<Z,*>的幺元
(4)Z的任何元素存在逆元
假设存在逆元a^-1
a*a^-1=a*a^-1=-1 这里 e=-1 带入 a*a^-1=e
可得 a^-1=-a-2
所以∀a∈z,必有(-a-2)*a=a*(-a-2)=-1,所以-a-2是a的逆元
综上,<z,*>是群。
6.3 环与域
群--环--整环--域
7.1 格的基本概念
设<A，≤>是一个偏序集，集合{a,b}是A的子集，
若集合A中存在一个元素满足：a≤x且b≤x，则称x是集合{a,b}的上界
若集合A中存在一个元素x满足：x≤a且x≤b，则称x是集合{a,b}的下界
例：{a,b}的上界有b,d,e,f，下界是a {b,c}的上界是d,e,f，下界是a {d,e}的上界是f，下界有b,c,d
若集合{a,b}存在唯一的最小上界，记为a∨b；
若集合{a,b}存在唯一的最大下界，记为a∧b;
a∧b=a
b∨c=a d∨e=f
设<A，≤>是一个偏序集，若∀a,b∈A，{a,b}都有唯一的最大下界（记为a∧b）和唯一的最小上界（记为a∨b），则称<A，≤>为
格哈斯图有图案
| \ / | | / \ |
这个的一定不是格。
7.2 补格
设<A，≤>是格，<A，≤>的最小元记为0，最大元记为1，若a∨b=1，且a∧b=0，则称b是a的补元。 两个直接连接的肯定不是补元
设<A，≤>是格，若A中任何元素都存在补元，则称<A，≤>是有补格。
8.1 图的基本概念
一图包含两个部分 ，顶点和边 ，用V表示顶点，用E表示边，G= （V,E）表示一个图
边可以有方向，也可以无方向；如果一个图的所有边都没有方向，称为
无向国；如果图的所有边都有方向，称为有向图一个顶点自身连接自身的边称为环，两个顶点之间有多条边称为多重边；不含环的图，称为
简单图若一个图G的顶点总数为n,则称G为n阶图
设无向图G=<V,E＞，顶点v关联的边数，称为顶点的
度数，记为deg(v)，若deg(v)为奇数，称v为奇顶点定理(1):所有顶点(节点)的度数总和等于边数的2倍
定理(2):奇顶点(度数)必有偶数个
※※※真题
【真题】设无向圈G有7个顶点，每个顶点的度数不是4就是5。证明：G中至少有5个度数为4的顶点或至少有4个度数为5的顶点
证明：
草稿: 由定理2得到的符合奇顶点的在题目中只有度数为5
所以 度数为五的节点数量只能是偶数 所以只能是 0,2,4,6这四种情况所以可写出答案;
无向图G有7个顶点，每个顶点的度数不是4就是5，则有以下四种情况：
（1）图G中有7个度数为4的顶点
（2）图G中有5个度数为4的顶点 ，2个度数为5的页点
（3）图G中有3个度数为4的顶点 ，4个度数为5的顶点
（4）图G中有1个度数为4的顶点 ，6个度数为5的顶点
综上所述，G中至少有5个度数为4的顶点或至少有4个度数为5的顶点。
【真题】设图G有n个结点，n+1条边。证明：图G中至少有一个结点度数≥3。
草稿:反证法 题干可符号化为 ∃x(x≥3)他的否命题是 ∀x(x<3)=>图G中所有结点度数都小于3
证明：反证法：
假设图G中所有结点度数都小于3
则图G中每个结点度数最大为2，图G所有结点度数总和最大为2n，所以图G的边数最大为n，
这与已知条件矛盾
故假设不成立，即图G中至少有一个结点度数≥3
【真题】设G是有n个结点、n+1条边的图，且每个结点的度数都不超过3，证明：G中至少有2个度数等于3的结点。
证明：反证法：
（1）假设G中没有度数为3的结点 ，则图G中每个结点度数最大为2，图G所有结点度数总和
最大为2n，则图G的边数最大为n，这与已知条件矛盾，故假设不成立。
（2草稿）--因为奇顶点必然由偶数个 因为每个节点度数都不超过3，又假设只有1个度数为3的节点，由定理二必定要有1个度数为 1的结点
（2）假设G中只有1个度数为3的结点，则G中必定有1个度数为 1的结点，此时图G的结点总
数最大为2（1-2)+1+3=2n，则图G最多有n条边，这与已知条件矛盾，故假设不成立。
综上所述,G中至少有2个度数等于3的结点。
【真题】设G是无向简单因，有11个顶点，每个顶点的度数均至少为5。证明：G是连通圈，
证明：反证法：
假设G不是连通图，则G至少包含两个连通分支A. B
A、B都是连通图，且每个顶点度数至少为5，所以A、B均至少有6个顶点
所以图G至少有12个顶点，与已知条件矛盾
故假设不成立，即G是连通图
【真题】设G是无向简单图，有2n个顶点且每个顶点度数均为n。证明：G是连通图。
证明：反证法：
假设G不是连通图，则G至少包含两个连通分支A、B
A、B都是连通图，且每个顶点度数为n，所以A、B均至少有n+1个顶点
所以图G至少有2(n+1)个顶点，与已知条件矛盾
故假设不成立，即G是连通图
有向图
设n阶简单无向图G=<V,E>中，每个顶点都与其余的n-1个顶点连接，则称G为n阶完全图，记作
Knn阶完全图中每个顶点度数都为n-1，图中共有 n(n-1)/2条边
8.2图的连通性
通路：若图G中的两个顶点v1、v2可以由几条边连起来 ，则称v1、v2是连通的，从v1到v2 的一条路称为
通路，通路中的边数称为通路的长度。如果一条通路的起点和终点相同 ，称为回路.
若图G中任意两个顶点之间都是连通的，称G为连通图。
若图G不连通，则图G至少包含2个连通分支
G是n阶的连通图，则G的边数最少为n-1,最多为 n(n-1)/2边；
G是简单连通图，若G由一个顶点度数为a,则G至少由a+1个顶点;
8.3图的表示
设图G=<V,E>，V={v1,v2.v3,v4}，用mij表示从顶点vi到顶点vj的边数，则可得到图G的邻接矩阵M
有向图和无向图都有邻接矩阵.
1 0 0 0 --表示v1 到vj的边数 2表示v1 到v1的边数 第一个0表示v1 到v2的边数
2 0 1 0 --表示v2 到vj的边数 2表示v2 到v1的边数
1 0 0 1 --...
1 0 1 0
※※※矩阵的乘法
矩阵的平方M^2是一个新的矩阵，这个矩阵的mij等于矩阵M的第i行和第j列对应元素乘积之和
例：M^2的第一行第一列元素等于1× 1+1×0=1 第一行第二列元素等于1×1+1×1=2 第二行第一列元素等于0×1+1x0=0 第二行第二列元素等于0×1+1×1=1
1 1 1 1 1 1 1× 1+1×0 1×1+1×1 1 2
M= M^2= x = =
0 1 0 1 0 1 0×1+1x0 0×1+1×1 0 1
计算图通路数量
真题
9.1欧拉图与哈密顿图
可以一笔画出的图：
（1）连通图，所有顶点都是偶点，从任一点 开始都能一笔画出 （2）连通因，有两个奇点，从其中一个奇点开始，到另一个奇点结束可以一笔画出
在连通图G中，经过G的
每条边一次且仅一次的通路，称为欧拉通路若欧拉通路为回路，则称为欧拉回路含有欧拉回路的图称为欧拉图注：有欧拉通路则G可以一笔画出
有欧拉回路则G是连通的且无奇点（欧拉图无奇点）哈密顿图
在连通图G中，经过G的
每个顶点一次且仅一次的通路，称为哈密顿路，若哈密顿路为回路， 则称为哈密顿回路含有哈密顿回路的图称为
哈密顿图。
※※※真题
【真题】今有a，b,c,d,e,f,g7人，己知下列事实：日会讲德语；b会讲法语和德语;c会讲俄语和英语；d会讲日语和汉语；e会讲德语和汉语；f会讲法语、日语和俄语;g会讲英语和汉语。 试问：这7人应如何排座位（按圆桌排），才能使每个人和他身边的人交谈？
9.2 平面图
若图G的边仅在顶点处相交，则称图G为平面图。 平面图G将整个平面划分为几个区域，每一个区域称为图G的一个面。 每一个平面图都有一个面积无限的面（外部面）、和若干个面积有限的面（内部面）。
设图G为连通平面图，
n个顶点，m条边，r个面之间的关系为： 欧拉公式：n-m+r=2
9.3 ※※※树及其遍历
连通、无回路的无向图称为树 树是连通的，但删去任何一条边后就不连通（ 每条边都是割边） 树无回路，但增加任何一条边，就会得到一个回路
树中度数为1的顶点称为叶结点或树叶 ，一標树至少有2个树叶
n个顶点的树有n-1条边
【填空】一棵树有2个3度结点，其余结点都是叶子，则叶子数是 4
设树有n个顶点 则 n个顶点的树有n-1条边 树总的度数为 2(n-1) =(n-2)+2*3 解的 n=6 叶子树为6-2=4
给图G的每一条边加上一个
权值，图G的所有生成树中， 权值之和最小的一棵称为G的最小生成树。 用Kruskal算法求n阶有权连通图的最小生成树：（1）添加所有顶点 （2）添加权值最小的边 （3）按权值从小到大的顺序添加边，如果添加之后出现回路则不添加 （4）添加n-1条边后即可得到图G的最小生成树
【真题】用Kruskal算法求下图中的一棵最小生成树。要求写出详细过程，井画出该最小生成数
（1）添加所有顶点 （2）添加权值为1的边(v1,v2) （3）添加权值为3的边(v2,v3) （4）添加权值为4的边(v3,V4) （5）添加权值为4的边(v3,v5) （6）添加权值为7的边(V5,v6)
符号注释
├ 断定符（公式在L中可证）
╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）
┐ 命题的“非”运算
∧ 命题的“合取”（“与”）运算
∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算
→ 命题的“条件”运算 ∀ ∃
↔ 命题的“双条件”运算的
A<=>B 命题A 与B 等价关系
A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系
A* 公式A 的对偶公式
wff 合式公式
iff 当且仅当
↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）
↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）
□ 模态词“必然”
◇ 模态词“可能”
φ 空集
∈ 属于（∉不属于）
P（A） 集合A的幂集
|A| 集合A的点数
R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”
א 阿列夫
⊆ 包含
⊂（或下面加 ≠） 真包含
∨ 集合的并运算
∧ 集合的交运算
\- （～） 集合的差运算
〡 限制
