神、上帝以及老天爷 (错排问题 详细推导)

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hduoj2048 神、上帝以及老天爷

Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！ 为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的： 首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中； 然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条； 最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！” 大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有>>试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！ 我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？ 不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？ 不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

1 2

Sample Output

50.00%

思路：错排问题

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错排问题描述

一个n个数字的排列，使所有的数字都不在自己所对应序号的位置上，这样的一个排列就称为原排列的一个错排，求所有可能的错排的个数。

分析

• $dp[n]$表示n个数字错排的方案数,$dp[n-1]$表示$(n-1)$个数字错排的方案数;
• 假设对于第$M$个位置的数字$m$,首先取位置$K$的元素放置,此时有$(n-1)$种情况;
• 考虑第$K$个位置的数字$k$:如果$k$放在第$M$个位置,此时有$(n-2)$个数字进行错排,方案数为$dp[n-2]$;如果$k$不在第$M$个位置,此时就是$(n-1)$个数字进行错排,方案数为$dp[n-1]$;
• 综上所述,所有的情况就是$dp[n]=(n-1)\cdot(dp[n-1]+dp[n-2])$。

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int MAXN = 1e6 + 50;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int INF=0x3f3f3f3f;

#define PI acos(-1)
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define rep(i,x) for(int i=0;i<x;++i)
#define UP(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++) 
#define DOWN(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)

const int N  = 21;
int C,n; LL dp[N],f[N];

void Init(){
    dp[0] = 0; dp[1] = 0; dp[2] = 1;
    UP(i,3,N) dp[i] = (i - 1) * (dp[i-1] + dp[i-2]);
    f[0] = f[1] = 1;
	UP(i,2,N) f[i] = i * f[i-1];
}
int main(){
	Init();
    scanf("%d",&C);
    while(C--){
        scanf("%d",&n);
        double p =  dp[n] * 1.0 / f[n] * 100;
        printf("%.2f%%\n", p);  //不要用%lf输出double类型 输出%号记得%%
    }
    return 0;
}