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给定一个整数 n ，返回 n! 结果中尾随零的数量。
提示 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1
示例 1：
输入： n = 3
输出： 0
解释： 3! = 6 ，不含尾随 0
示例 2：
输入： n = 5
输出： 1
解释： 5! = 120 ，有一个尾随 0
示例 3：
输入： n = 0
输出： 0
提示：
0 <= n <= 104
数学
n!n!n! 尾零的数量即为 n! 中因子 10 的个数，而 10=2×5，因此转换成求 n! 中质因子 2 的个数和质因子 5 的个数的较小值。
由于质因子 5 的个数不会大于质因子 2 的个数（具体证明见方法二），我们可以仅考虑质因子 5 的个数。
而 n! 中质因子 5 的个数等于 [1,n] 的每个数的质因子 5 的个数之和，我们可以通过遍历 [1,n] 的所有 5 的倍数求出。
var trailingZeroes = function(n) {
let ans = 0;
for (let i = 5; i <= n; i += 5) {
for (let x = i; x % 5 == 0; x /= 5) {
++ans;
}
}
return ans;
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n)。n! 中因子 5 的个数为 O(n)，具体证明见方法二。
-
空间复杂度O(1)。
优化计算
- 肯定不可能真去把 n! 的结果算出来，阶乘增长可是比指数增长都恐怖
- 两个数相乘结果末尾有 0，一定是因为两个数中有因子 2 和 5，因为 10 = 2 x 5
- 也就是说，问题转化为：n! 最多可以分解出多少个因子 2 和 5
- 举例来说，n = 25，那么 25! 最多可以分解出几个 2 和 5 相乘？这个主要取决于能分解出几个因子 5，因为每个偶数都能分解出因子 2，因子 2 肯定比因子 5 多得多
- 现在，问题转化为：n! 最多可以分解出多少个因子 5
- 假设 n = 125，来算一算 125! 的结果末尾有几个 0
- 125 / 5 = 25，这一步就是计算有多少个像 5，15，20，25 这些 5 的倍数，它们一共可以提供一个因子 5
- 像 25，50，75 这些 25 的倍数，可以提供两个因子 5，那么我们再计算出 125! 中有 125 / 25 = 5 个 25 的倍数，它们每人可以额外再提供一个因子 5
- 我们发现 125 = 5 x 5 x 5，像 125，250 这些 125 的倍数，可以提供 3 个因子 5，那么我们还得再计算出 125! 中有 125 / 125 = 1 个 125 的倍数，它还可以额外再提供一个因子 5
- 125! 最多可以分解出 25 + 5 + 1 = 31 个因子 5，也就是说阶乘结果的末尾有 31 个 0
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var trailingZeroes = function (n) {
let res = 0;
let divisor = 5;
while (divisor <= n) {
res += Math.floor(n / divisor);
divisor *= 5;
}
return res;
};
