📖本篇内容：Leetcode每日一题 172. 阶乘后的零 数学结论题 我也不会 但是刷到了就要记住了
📑 文章专栏：leetcode每日一题《打卡日常》
📆 最近更新：2022 年 3 月24日 Leetcode每日一题 661. 图片平滑器 二维前缀和公式以及矩阵边界问题
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🙊写在前面🙊

题目

给定一个整数 n ，返回 n! 结果中尾随零的数量。

提示 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1

示例1：

输入：n = 3
输出：0
解释：3! = 6 ，不含尾随 0

示例2：

输入：n = 5
输出：1
解释：5! = 120 ，有一个尾随 0

示例3：

输入：n = 0
输出：0

提示

0 <= n <= 10^4

📝思路📝

本题考查知识点

大佬的题解

• 小付理解的思路：末尾有多少个零取决于的是有多少个偶数乘以5可以构成一个10 进行相乘这样末尾就会多增加一个0 这样就可以知道每个数可以有几个2和5构成，每对2和5就能构成一个尾部零，我们只需要能凑够多少对数就知道尾部会有多少个0了，知道这个了我们就需要知道2和5在n!中出现的次数少的那个就是二者能够出现最多的对数，可以很清楚的知道，5的个数肯定比2的个数少，所以我们只需要求取每次需要进行乘的数能分出多少个5的个数就知道就多少个尾部0了。

• 不出意外这题是可以过得，不过这只是考虑了给定的 n 为 $10^4$ 以内，如果 n 给定的数值是足够大的话，那么很大情况这道题会超时，因为按照上述的方法做出来其时间复杂度为 $O(nlogn)$ ,如果给定的 n 为 $10^8$ 这题绝对会TLE ,所以官方放我们设计一个时间复杂度为 $O(logn)$ 的算法来处理，我们接着来看，如何对上述的代码进行优化，我们本质是为了求每个数中 5 的个数，那么如果数等于 25 时，里面就是有 2 个 5 ，那么以此类推就能知道125 = 5*5*5 那么每当125个数字时就是要+3个5所以总共 5 的个数是 $n/5 + n/25 + n/125 + ... + n/5^n$ 剩下的就交给程序计算即可。

⭐代码实现⭐

暴力数学

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int cnt = 0 ;
        for (int i = 1; i<= n;i++){
            int curNum = i;
            while(curNum > 0){
                if (curNum % 5 == 0){
                    cnt++;
                    curNum/=5;
                }else {
                    break;
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
}

• 时间复杂度: O($nlogn$)
• 空间复杂度: O($1$)

数学优化

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int cnt = 0 ;
        while (n > 0){
            cnt = cnt +  n / 5; //  n/5 + n/25 + ... +> n/5^n
            n = n / 5;//  n/5 --> n/25 --> ... --> n/5^n
        }
        return cnt;
    }
}

• 时间复杂度: O($logn$)
• 空间复杂度: O($1$)

运行结果

暴力数学

数学优化

🙊写在最后🙊

2022- 3- 25今天小付打卡了哦~

美好的日出 美好的山河

都因有你存在 而璀璨 耀眼