今天来看几道力扣题
121. 买卖股票的最佳时机
难度:简单
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入： [7,1,5,3,6,4]
输出： 5
解释： 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入： prices = [7,6,4,3,1]
输出： 0
解释： 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 104
用贪心来解这道题，买卖股票的时候自然会想到在股价最低时购入股票，然后在之后股价最高的一天卖出
前i天的最大收益 = max{前i-1天的最大收益，第i天的价格-前i-1天中的最小价格}
我们在遍历数组的过程中，定义一个maxprofit记录最大利润，minprice记录前i-1最低价格，只需要一遍遍历就可以求出最大利润
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n <= 1) return 0;
int maxprofit = 0,minprice = prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
maxprofit = Math.max(maxprofit,prices[i]-minprice);
minprice = Math.min(minprice,prices[i]);
}
return maxprofit;
}
下面看看动态规划的解法
动态规划解法
-
定义
dp[i][j] j=0 or 1表示是否持有股票的状态dp[i][0]表示第i天未持股下的最大利润dp[i][1]表示第i天持股下的最大利润
-
状态转移方程(分持股状态进行讨论)
第i天结束时未持股
- 第i-1天也未持股
dp[i][0] = dp[i-1][0]继承上一天的值 - 第i-1天持股 那么第i天是将股票卖出了
dp[i][0] = dp[i-1][1] + price[i] - 对上述情况取最大值 第i天持股
- 第i-1天结束时未持股 说明是第i天买入股票的
dp[i][1] = -price[i](**这里只交易一次，只会买入一次，买完后不用考虑上次状态，（注意因此手上的现金数就是当天的股价的相反数) - 第i-1天结束时持股
dp[i][1] = dp[i-1][1]继承上一天的值即可 - 对上述情况取最大值
- 第i-1天也未持股
-
初始化
- 第1天未买入股票
dp[0][0] = 0 - 第1天买入股票
dp[0][1] = -price[0]
- 第1天未买入股票
-
遍历顺序
- 从前往后遍历,最后状态未持股利润肯定高于持股时
状态转移方程式
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
}
return dp[n-1][0];
}
122. 买卖股票的最佳时机 II
难度:中等
给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的价格。
在每一天，你可能会决定购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以购买它，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1:
输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:
输入: prices = [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: prices = [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
1 <= prices.length <= 3 * 1040 <= prices[i] <= 104
这一题跟上一题非常相似，只是对买卖的次数没有限制，下面趁热打铁🤔看看动态规划解法
就多考虑个状态的问题，我们先用动态规划来解
注意：这个题今天持有股票昨天未持有股票可能昨天已经交易过，也就是产生利润过这里的状态转移方程式我们就得用
dp[i][1] = dp[i - 1][0] -price[i]
第i-1天结束时未持股 这时候我们要将其买入
dp[i][1] = dp[i - 1][0] -price[i]
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0],dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1],dp[i - 1][0]- prices[i]);
}
return dp[n-1][0];
}
第二种用贪心，这里的贪心算法时间复杂度优于动态规划👏
贪心算法，一次遍历，只要今天价格小于明天价格就在今天买入然后明天卖出，时间复杂度O(n)，要后一天比前一天大 就把这两天的差值加一下 赚钱就卖🤣
只需要遍历一次只要第二天价格高于第一天就卖，加上这个差值
public int maxProfit1(int[] prices) {
int profit = 0;
int n = prices.length;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int tmp = prices[i] - prices[i-1];
if (tmp > 0){
profit += tmp;
}
}
return profit;
}
123. 买卖股票的最佳时机 III
难度：困难
给定一个数组，它的第 **i 个元素是一支给定的股票在第 i **天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入： prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出： 6
解释： 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入： prices = [1,2,3,4,5]
输出： 4
解释： 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入： prices = [7,6,4,3,1]
输出： 0
解释： 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入： prices = [1]
输出： 0
提示：
1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 105
定义 dp[i][0 or 1][k] 表示第i天(非)持有股票并且交易次数为k的最大利润
递推公式
- 第 i 天没有持有股票
- 第 i-1 天没有持有股票
dp[i][0][k] = dp[i-1][0][k] - 第 i-1 天持有股票
dp[i][0][k] = dp[i-1][1][k] + prices[i]
- 第 i-1 天没有持有股票
- 第 i 天持有股票
-
第 i-1 天持有股票
dp[i][1][k] = dp[i-1][1][k] -
第 i-1 天非持有股票
dp[i][1][k] = dp[i-1][0][k-1] - prices[i]
-
初始化
dp[0][0][0...k] = 0//第1天没有持有股票dp[0][1][0...k] = -prices[0]//第1天持有股票 -`-------------------------------------------i=0 -> dp[0][0][0] = 0//无操作dp[0][1][1] = -prices[0]//第一次购入股票dp[0][0][1] = 0//第一次卖出股票dp[0][1][2] = -prices[0]//第二次购入股票dp[0][0][2] = 0//第二次卖出股票 `
遍历顺序
外层循环遍历天数 从前往后遍历 内层循环需要遍历穷举交易次数的状态
public int maxProfit1(int[] prices) {
if(prices.length == 1) return 0;
int days = prices.length;
int[][][] dp = new int[days][2][3];
//base case
dp[0][1][1] = -prices[0];
dp[0][1][2] = -prices[0];
for(int i=1;i<days;i++) {
for(int j=1;j<=2;j++) {
dp[i][0][j] = Math.max(dp[i-1][0][j],dp[i-1][1][j]+prices[i]);
dp[i][1][j] = Math.max(dp[i-1][1][j],dp[i-1][0][j-1]-prices[i]);
}
}
return dp[days-1][0][2];
}
dp1[i] = max(dp[i-1], prices[i] - minval)从前往后遍历，表示第1天到第i天之间的最大利润（通过是否在第i天卖出确认）；dp2[i] = max(dp[i+1], maxval - prices[i])从后往前遍历，表示第i天到最后一天之间的最大利润（通过是否在第i天买进确认）；Math.max(res,dp1[i]+dp2[i]),正好表示从第1天到最后一天经过两次交易的最大利润，找到令总利润最大的i。
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[] dp1 = new int[prices.length];
int[] dp2 = new int[prices.length];
int min = prices[0];
//从左向右
for(int i = 1;i < n;i++){
dp1[i] = Math.max(dp1[i-1],prices[i] - min);
min = Math.min(min,prices[i]);
}
int max = prices[prices.length-1];
//从右向左
for(int j = n-2;j >= 0;j--){
dp2[j] = Math.max(dp2[j+1],max - prices[j]);
max = Math.max(max,prices[j]);
}
int res = 0;
for(int i = 0;i < prices.length;i++){
res = Math.max(res,dp1[i]+dp2[i]);
}
return res;
}
