Offer 驾到，掘友接招！我正在参与2022春招打卡活动，点击查看活动详情。

题目描述

来自洛谷社区

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $n \times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素； 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾； 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值$\times 2^i$ ，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从 $1$ 开始编号）； 游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。 帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式 输入文件包括 $n+1$ 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 $n$ 和 $m$。

第 $2\sim n+1$ 行为 $n \times m$ 矩阵，其中每行有 $m$ 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

输入

2 3
1 2 3
3 4 2

输出

82

数据范围：

$60\%$ 的数据满足：$1≤n,m≤30$，答案不超过 $10^{16}$ 。

$100\%$ 的数据满足：$1≤n,m≤80，0≤a_{i,j}≤1000$。

思路解答

任意一次取数过程都会从第一行到最后一行挨个取一个数。看上去矩阵的行与行之间有联系，但是实际上是没有任何联系的！

什么意思呢？就是说如果我们换个说法：我们分别对第一行做m次取数过程，再对第二行做m次取数过程……一直到对第n行做m次取数过程。这样做最后和题目是完全等价的。

因此我们只需要把行固定，只在意矩阵的这一行该怎么做状态转移即可。

所以怎么做呢：

由于每次只从两边取数，考虑区间dp。

令dp[i][l][r]为第i行只剩l-r区间有数字时的最大得分。 显然[l,r]区间是由[l-1,r]取掉左边的数字，或者[l,r+1]去掉右边的数字得到的，两者取最大即可。详情见代码：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define pp pop_back
using ll=long long;
using db=double;
ll matrix[35][35];
ll dp[35][35][35];
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>matrix[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int d=m-1,t=1;d>=1;d--,t++){
			for(int j=1;j+d-1<=m;j++){
				int k=j+d-1;
				if(j-1>=1)dp[i][j][k]=dp[i][j-1][k]+matrix[i][j-1]*pow(2,t);
				if(k+1<=m)dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k+1]+matrix[i][k+1]*(ll)pow(2,t),dp[i][j][k]);
			}
		}
	}
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll mx=0;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			mx=max(mx,dp[i][j][j]+matrix[i][j]*(ll)pow(2,m));
		}
		res+=mx;
	}
	cout <<res;
	
} 

总结

做区间dp时，一定记得要合理建模，换一个角度往往可以事半功倍。