本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

每日一题做题记录，参考官方和三叶的题解

题目要求

【典型字越少事越大】

字典序

简单来讲就是把数字看成是英语单词一样排序，先按第一个字符排序，然后按第二个字符排序……长度短的靠前放。
也就是说靠前缀大小排序，这个排出来的顺序和十叉树的先序遍历是一样的。

思路

• 将题目过程拆分为：确定前缀和在前缀值下找目标值节点。

• 定义一个getCnt(x, limit)函数，用于计算$[1,limit]$内以$x$为前缀的数的个数。记$x$和$limit$的位数分别为$xlen$、$llen$。

  • 位数$len$小于$llen$的数均符合条件，直接计入，共$10^{len-xlen}$个
  • 位数$len$等于$llen$的数中，取$limit$中长$xlen$的前缀$pre$：
    • $pre<x$：所有$x$为前缀的数都大于$limit$；
    • $pre=x$：[$x0\dots0, limit$] 为符合条件的数，共$limit-x*10^{llen-xlen} +1$个。
    • $pre>x$：所有$x$为前缀的数都小于$limit$，共$10^{llen-xlen}$个。

• 从最小的前缀$1$开始枚举，枚举到前缀$x$时，减去已经找到的符合条件的数，直至$k$减为1得到目标值，记$cnt=getCnt(x,limit)$：

  • $cnt<k$：所有以$x$为前缀的数都可以跳过，$x$自增（跳到同一层隔壁兄弟节点），$k$减去$cnt$，找下一个数值比x大的前缀；
  • $cnt \ge k$：目标值前缀为$x$，$x *10$（跳到下一层），$k$减去$1$，找下一个字典序比x大的前缀。

Java

在实现getCnt时，采用子串的方式构建$pre$。

class Solution {
    public int findKthNumber(int n, int k) {
        int res = 1;
        while (k > 1) {
            int cnt = getCnt(res, n);
            if(cnt < k) { //进入兄弟节点
                k -= cnt;
                res++;
            }
            else { //进入子树
                k--;
                res *= 10;
            }
        }
        return res;
    }

    //以x为前缀数的个数
    int getCnt(int x, int limit) {
        String xv = String.valueOf(x), lv = String.valueOf(limit);
        int xlen = xv.length(), llen = lv.length(), d = llen - xlen;
        int pre = Integer.parseInt(lv.substring(0, xlen)); //limit中与x一样长的前缀
        int cnt = 0;
        //长度小于llen的数
        for(int i = 0; i < d; i++)
            cnt += Math.pow(10, i);
        //长度为llen的数
        if(pre > x) //所有以x为前缀的数都满足
            cnt += Math.pow(10, d);
        else if(pre == x) //部分满足
            cnt += limit - x * Math.pow(10, d) + 1;
        return cnt;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log^2n)$，枚举前缀和getCnt的操作均复杂度均为$O(\log n)$
• 空间复杂度：$O(\log^2n)$，忽略子串生成的复杂度为$O(1)$

C++

在实现getCnt时，采用树结构思路，找当前层小于limit的数，不断向下一层（前缀加长一位）寻找。

class Solution {
public:
    int findKthNumber(int n, int k) {
        int res = 1;
        while (k > 1) {
            int cnt = getCnt(res, n);
            if(cnt < k) { //进入兄弟节点
                k -= cnt;
                res++;
            }
            else { //进入子树
                k--;
                res *= 10;
            }
        }
        return res;
    }

    //以x为前缀数的个数
    int getCnt(int x, long limit) {
        int cnt = 0;
        long left = x, right = x; //当前层符合条件的最小（左）和最大（右）数
        while(left <= limit) {
            cnt += min(limit, right) - left + 1;
            left = left * 10;
            right = right * 10 + 9;
        }
        return cnt;
    }
};

• 时间复杂度：$O(\log^2 n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

总结

读完要求是完全没有头绪的题目，解题思路不难，但要捋通顺还是花了点时间。
对于两种构建getCnt的方法，其底层逻辑相似，但一种利用字符串比较，另一种基于十叉树的层序遍历。

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