启发式合并

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启发式算法是指基于人类的经验和直观感觉，对一些算法的优化，最常见的有并查集的按秩合并，即对于两个大小不一样的集合，我们总是将小的集合合并到大的集合中，让高度小的子树成为高度大的树的子树，这个优化称为启发式算法，通过启发式优化，可以将部分树上问题的复杂度为$O(n^2)$的算法优化成$O(nlog_2n)$。
树上启发式合并的详细介绍及复杂度证明见OI Wiki：树上启发式合并。

结合LeetCode上一道例题说明：
例题：LeetCode 2003. 每棵子树内缺失的最小基因值

有一棵根节点为 0 的 家族树 ，总共包含 n 个节点，节点编号为 0 到 n - 1 。给你一个下标从 0 开始的整数数组 parents ，其中 parents[i] 是节点 i 的父节点。由于节点 0 是 根 ，所以 parents[0] == -1 。

总共有 $10^5$ 个基因值，每个基因值都用 闭区间 [1, $10^5$] 中的一个整数表示。给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，其中 nums[i] 是节点 i 的基因值，且基因值 互不相同 。

请你返回一个数组 ans ，长度为 n ，其中 ans[i] 是以节点 i 为根的子树内 缺失 的 最小 基因值。

节点 x 为根的 子树 包含节点 x 和它所有的 后代 节点。

显然，对于某个节点而言，其最小缺失基因值一定大于等于其左右子树的最小缺失基因值，换言之，从叶结点到根节点的最小缺失基因值一定只增不减。因此，我们可以从根节点开始dfs，在dfs过程中，将每个子树的中包含的基因值用一个set存起来，然后返回一个最小缺失基因值。由于是set，单步复杂度均摊$O(log_2n), 而$set合并操作采用启发式合并的方法，因此整体复杂度为$O(nlog_2n)$。

class Solution {
public:
    static const int N = 100005;
    set<int> st[N];
    vector<int> son[N];
    vector<int> smallestMissingValueSubtree(vector<int>& p, vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        for(int i = 1; i < n; i ++) son[p[i]].push_back(i);
        vector<int> ans(n, 1);
        auto dfs = [&] (auto&& dfs, int u) -> int {
            int res = 1;
            for(auto&& ne: son[u]) {
                res = max(res, dfs(dfs, ne));
                //swap实际上仅交换指针，很快
                if(st[u].size() < st[ne].size()) swap(st[u], st[ne]);
                //set，map自带merge函数，配合move快上加快，暴力写也没问题
                st[u].merge(move(st[ne]));
            }
            st[u].emplace(nums[u]);
            while(st[u].count(res)) ++ res;
            return ans[u] = res;
        };
        dfs(dfs, 0);
        return ans;
    }
};