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常用算法
图论 tags:
差分约束

对于一系列形如 $x_i \leq x_j + c_k$ 的不等式组，其中 $x_i$ 走到 $x_j$ 都是自变量， $c_k$ 是一个常数。

考虑我们的最短路算法，假设从 $j$ 走到 $i$ 存在一条长度为 $c$ 的边，那么跑完最短路算法后，就必然有以下三角不等式成立：
$dist[i] \leq dist[j] + c$
原因很简单，因为当 $dist[i] > dist[j] + c$ 时， $dist[i]$ 会被 $dist[j] + c$ 更新，因此对于每一个不等式 $x_i \leq x_j + c_k$ ，我们可以连一条从 $j$ 到 $i$ 权值为 $c_k$ 的的边，然后跑一遍最短路算法，获得一个可行解。
跑最短路算法就需要考虑图中存在负环的情况，因为负环图中不存在最短路，考虑图中边和不等式的对应关系如果有负环，就意味着有以下不等式成立：假设三个点构成负环:

x_i \leq x_j + c_j ,\quad x_j \leq x_k + c_k ,\quad x_k \leq x_i + c_i

则有: $x_i \leq x_j + c_j \leq (x_k + c_j) + c_k \leq ((x_i + c_i) + c_j) + c_k$ 因为是负环，因此三条边之和小于零，推出矛盾: $0 \leq c_i + c_j + c_k < 0$
由此可见，图中存在负环，等价于原不等式组无解，类似的思考流程可以推广到任意个点的负环。
另外我们也可以从最长路角度考虑，类似的，假设从 $i$ 走到 $j$ 存在一条长度为 $c$ 的边，那么跑完最长路算法后，就必然有以下三角不等式成立：
$dist[j] \geq dist[i] + c$ 因此我们需要对原不等式 $x_i \leq x_j + c_k$ 进行些许变化： $x_j \geq x_i - c_k$ 我们可以连一条从 $i$ 到 $j$ 权值为 $-c_k$ 的的边，然后跑一遍最短路算法，获得一个可行解。

以最短路方法为介绍一下具体步骤：

差分约束求不等式组的可行解
源点需要满足的条件：从源点出发可以定可以走到所有的边，这是为了保证每一个不等式条件都能够被考虑到。一般来说，只要从源点出发能到所有点，则可以推出源点能到所有边，反之不一定成立，因为可能存在孤立点没有任何边与它相连。
步骤：
1. 先将每个不等式 $x_i \leq x_j + c_k$ ,转化成一条从 $x_j$ 走到 $x_i$ ，长度为 $c_k$ 的一条边；
2. 找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历到所有边；
3. 从源点求一遍单源最短路：
  结果1：如果存在负环，则原不等式组一定无解；
  结果2：如果没有负环，则 $dist[i]$ 就是原不等式组的一个可行解；
如何求最大值或最小值（指每个变量的最值）
结论：如果求的是最小值，则应该求最长路，如果求的是最大值，则应该求最短路。
对于求最值的问题一般来说，所有的点都有一个绝对值的限制，比如是所有点满足 $\leq c$ 或者 $\geq c$ ,否则只有相对关系的话，是无法求出最值的。
那么引入问题1：如何转化 $x_i \geq c_i$ 或者 $x_i \leq c_i$ ，其中 $c_i$ 是一个常数（这类不等式只有一个变量）
方法：建立一个超级源点，点值为0，然后建立从0到 $i$ ，长度为 $c_i$ 的边即可

以求最大值为例，对于一个 $x_i$ 来说，一定存在一系列的链式关系，通过不断放缩得到一个最终和超级源点相关的不等式，如下：
$x_i \leq x_j + c_j \leq x_k + c_k + c_j + ... \leq 0 + c_1 + c_2 + ...$ 为了求到 $x_i$ 的上界，我们需要找到所有从 $x_i$ 出发构成的的不等式链所计算出的 $x_i$ 的上界，然后在这些上界中取一个最小值，这样子就是我们的 $x_i$ 所能够取到的上界，即最大值。
根据前文分析，每一个不等式链都可以对应到从0号点出发走到i号点的一个路径，而求上界的最小值，即等价于求图中的最短路。
求最小值的思想也很对称，不再展开。

总结：求不等式组的可行解，要找到一个超级源点，使得该源点一定可以遍历到所有边，然后从源点求单源最短路，如果存在负环，则原不等式组一定无解，如果没有负环，从源点到每个点的最短距离即为可行解；
如果是求最值问题，如果求最小值，对应图中求最长路，如果求最大值问题，对应在图中求最短路。

结合一个例题考虑：
Acwing 1169.糖果

幼儿园里有 $N$ 个小朋友，老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。

但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，老师需要满足小朋友们的 $K$ 个要求。

幼儿园的糖果总是有限的，老师想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

输入格式输入的第一行是两个整数 $N$ , $K$ 。

接下来 $K$ 行，表示分配糖果时需要满足的关系，每行3个数字 $X$ , $A$ , $B$ 。

如果 X=1．表示第 A 个小朋友分到的糖果必须和第 B 个小朋友分到的糖果一样多。
如果 X=2，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须少于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=3，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不少于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=4，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须多于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=5，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不多于第 B 个小朋友分到的糖果。小朋友编号从 1 到 N。

输出格式输出一行，表示老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 −1。

数据范围 1≤N<105, 1≤K≤105, 1≤X≤5, 1≤A,B≤N

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5, M = 3 * N;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
//链式前向星存图
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int dist[N], q[N], cnt[N], tt;
bool st[N];
int n, m;

//栈优化spfa求正环，同时求最长路
bool spfa() {
    q[++ tt] = 0;
    while(tt) {
        int u = q[tt --];
        st[u] = false;
        for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] < dist[u] + w[i]) {
                dist[j] = dist[u] + w[i];
                cnt[j] = cnt[u] + 1;
                if(cnt[j] > n) return true;
                if(st[j]) continue;
                q[++ tt] = j;
                st[j] = true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main () {
    //加速输入
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    //将不等式关系转化为边
    while(m --) {
        int x, a, b;
        cin >> x >> a >> b;
        if(x == 1) add(a, b, 0), add(b, a, 0);
        else if(x == 2) add(a, b, 1);
        else if(x == 3) add(b, a, 0);
        else if(x == 4) add(b, a, 1);
        else add(a, b, 0);
    }
    //从超级源点向所有点建边
    for(int i = 1; i <= n; i ++) add(0, i, 1);
    if(spfa()) puts("-1");
    //会爆int因此用ll
    else cout << reduce(dist + 1, dist + n + 1, 0ll) << endl;
    return 0;
}

$ps:$ 这个题也可以用 $tarjan$ 算法求强连通分量，然后缩点，再求最长路搞定，强连通分量中存在边权为1的边，则意味着无解，此处不展开。