从快速幂到矩阵快速幂

快速幂

如何求出 x 的 n 次方？

leetcode 51 实现一个pow算法

试想一下，如果要你自己实现一个算法，求出 x 的 n 次方，可以使用语言自带的乘法，你会如何求解？

最简单的方法就是一直做乘法，从 $x$ 一直乘到 $x^n$

const myPow = (x, n) => {
    let ans = 1;
    for (let i = 1, i <= n; i++) {
        ans = ans * x;
    };
    return ans;
}

时间复杂度是 O(n)

使用快速幂分治求解

不管别的，我们先假设 n 是一个偶数，例如是 8，根据幂函数求幂的运算法则: $(x ^ a) ^ b = x ^{(ab)}$

那么 $(x ^ 2) ^ 4 = x ^ 8$

那么就可以写为

myPow(x, 8) = myPow(x * x, 4);

而进一步的

myPow(y, 4) = myPow(y * y, 2)；
myPow(z, 2) = z * z;

那如果 n 是一个奇数呢？很简单，根据幂函数求积的运算法则：$x^{(a + b)} = (x ^ a) * (x ^ b)$

我们将 n 转换成偶数就行了，例如 n 为 5 时，$x ^ 5 = (x ^ 4) * (x ^ 1)$;

myPow(x, 5) = x * myPow(x, 5 - 1);

边界情况，如果 n 为 0 呢？一个数的 0 次方，自然是返回1

myPow(x, 0) = 1;

这样我们就可以写出一个更快的解法

const myPow = (x, n) => {
    if (n === 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 === 1) {
        return x * myPow(x, n - 1);
    } else {
        return myPow(x * x, n / 2);
    }
}

示意图如下

上面这张图

• 观察其左侧节点，如果不考虑幂运算其计算量是常量级别的：不是 $x$ 就是 $x * x$, $y$ $z$ 同理（注意我们在进行$y$ $z$的运算时，不用考虑$x$，因为在计算时， $y$ $z$ 的结果在其对应的上一步已经给出）
• 观察其右侧节点，在奇数情况下计算量为常量级别，在偶数情况下每次都是 1/2 减少的 这其实是一种分治的做法，类似排序数组二分查找，他的复杂度是O(logN)

如果 n 为负数呢？ 我们知道 x 的 -3 次方其实就是 $1/(x ^ 3)$，所以当 n < 0 时，我们将 n 取反，将 x 取倒数即可，加上后完整代码如下

const myPow = (x, n) => {
    if (n === 0) {
        return 1;
    }
    if (n < 0) {
        n = -n;
        x = 1 / x; // js 没有 float 和 int 的区别，所以直接做除法
    }
    if (n % 2 === 1) {
        return x * myPow(x, n - 1);
    } else {
        return myPow(x * x, n / 2);
    }
}

矩阵快速幂

矩阵乘法

$A_{n \times k} \times B_{k \times m} = C_{n \times m}$

矩阵乘法就是行列的每一项相乘然后相加

复习一下矩阵的乘法 - 举个例子

快速幂在矩阵的应用

在某些递推的算法中，递推的过程可以用矩阵来表示

直观点说，就是假设我们已知$A_0$，要求$A_n$，那么通过分析、递推，可以将$A_n$表示为

其中$M$代表的是一个矩阵

而求这个矩阵 $M$ 的 $n$ 次幂的时候，可以通过快速幂的方式求解，从而降低时间复杂度

所以，矩阵快速幂的应用主要在两点

1. 找到递推的矩阵 $M$
2. 利用快速幂求解 $M^n$

小应用：求第 n 个泰波那契数

leetcode 1137. 第 N 个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

求泰波那契数很简单，迭代递归都可以，这次我们尝试用矩阵快速幂的方法来做

根据题意：$T_{n+3} = T_{n} + T_{n+1} + T_{n+2}$

我们首先用 $i$ 替换 $n$，并转换成咱们熟悉的形式

// i >= 3 时
T[i] = T[i - 1] + T[i - 2] + T[i - 3];

如果我们将它转换成矩阵乘法，那会如何呢

如果我们把$T[i-1]$也转换成上述的结构呢？

类似的 $T[i-2]$ 呢？

好，现在我们开始递推，将向量 ${\left[\begin{matrix} T[i - 1] \\ T[i - 2] \\ T[i - 3] \end{matrix}\right]}$ 递推为向量 ${\left[\begin{matrix} T[i] \\ T[i - 1] \\ T[i - 2] \end{matrix}\right]}$

则应该按如下矩阵乘法运算

现在，我们找到了递推的矩阵，如果我们将 ${\left[\begin{matrix} 1 \ 1 \ 1 \\ 1 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 0 \end{matrix}\right]}$ 记为 $M$

则可写为：

接下来我们要用快速幂的方法求解$M^n$

$M$ 的 $n$ 次方，那么 $n$ 应该为多少呢？

我们先从最基础的case开始

进一步的

推两个应该够了，可以看出，最左侧的4 减去 最右侧的2 就是 $M$ 的次方

所以 n 应该为 i - 2

以下是具体的代码实现

var tribonacci = function (n) {
    const getEmptyMatrix = (row, col, defaultValue = 0) => {
        // 创建 row x col 的空矩阵，
        return Array.from({length: row})
            .map(() => {
                return Array(col).fill(defaultValue);
            });
    };
    
    const multiply = (matrixA, matrixB) => {
        const matrixC = getEmptyMatrix(
            matrixA.length,
            matrixB[0].length,
        );
        for (let i = 0; i < matrixA.length; i++) {
            for (let j = 0; j < matrixB[0].length; j++) {
                matrixC[i][j] = matrixA[i][0] * matrixB[0][j]
                    + matrixA[i][1] * matrixB[1][j]
                    + matrixA[i][2] * matrixB[2][j];
            }
        }
        return matrixC;
    };
    const getPow = (M, x) => {
        if (x === 0) {
            // 注意这里应该返回单位矩阵，任何矩阵 × 单位矩阵 = 任何矩阵
            return [
                [1, 0, 0],
                [0, 1, 0],
                [0, 0, 1],
            ];
        }
        if (x % 2 === 1) {
            return multiply(M, getPow(M, x - 1));
        } else {
            return getPow(multiply(M, M), x / 2);
        }
    };
    // === main ===
    if (n === 0) {
        return 0;
    }
    if (n <= 2) {
        return 1;
    }
    let initialValues = [
        [1], // t2
        [1], // t1
        [0], // t0
    ];
    let M = [
        [1, 1, 1],
        [1, 0, 0],
        [0, 1, 0],
    ];
    M = getPow(M, n - 2);
    const answer = multiply(M, initialValues);
    return answer[0][0];
};

矩阵快速幂适用于哪些情况？

各位可以看出，其实这是动态规划的一种：我们已知了一个初始态，并且得出了状态转移方程。限制点在于，这个状态转移方程可用矩阵表示（这意味着运算的过程不算太复杂）

阅读完后可以考虑进阶的练习: 1220. 统计元音字母序列的数目

写在最后

快速幂还有一种迭代的算法，而非递归，后续考虑更新

参考链接

泰波那契数【宫水三叶】的题解

泰波那契数 力扣官方的题解