【算法题解】GPLT L3-020 至多删三个字符 - 二维DP变形

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L3-020 至多删三个字符 (30 分)

题目：pintia.cn/problem-set…

思路：二维DP，dp[i][j]表示取字符串前i个字符的字串，恰好删掉j个字符时，不重复串的个数。

最基本的状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]，分别对应删除/不删除第i个字符。但这个状态转移中存在重复：「不删除第i个字符」部分中所有的串都以「第i个字符」作为结尾，而在「删除第i个字符」的部分，有些子串本身以「第i个字符」作为结尾，这两部分子串存在重复。

对此，我们的策略是，在计数dp[i][j]时，子串存在重复时，对于同一字符，「尽量包含较晚在串内出现的字符」。因此，对于上述的情况，我们需要去掉「删除第i个字符」部分中那些重复的子串。

第i个字符上次出现的位置记为prev，在计数dp[i][j]时，「删除第i个字符」的部分中以「第i个字符」作为结尾的子串，他们结尾的字符必定是prev位置的字符。因此，这部分子串的数量为duplicate = dp[prev-1][prev-(i-j)-1]，状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] - duplicate

在程序实现时，每种字符上次出现的位置用一个额外的数组记录。时间复杂度为$O(mk)$，其中m和k是二维dp的两个维度，m是字符串长度，k是“至多删3个字符”里面的4。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int MAX = 1000000;
using namespace std;
int main() {
    char s[MAX + 10];
    long long dp[MAX + 10][4];
    int pos[26];
    scanf("%s",s + 1);
    dp[0][0] = 1;
    int len = strlen(s + 1);
    for(int i = 1;i <= len;i ++) {
        dp[i][0] = 1;
        int d = pos[s[i] - 'a'];
        pos[s[i] - 'a'] = i;
        for(int j = 1;j < 4;j ++) {
            dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
            if(d && j - i + d >= 0) {
                dp[i][j] -= dp[d - 1][j - i + d];
            }
        }
    }
    printf("%lld",dp[len][0] + dp[len][1] + dp[len][2] + dp[len][3]);
}