记录 1 道算法题
计算右侧小于左侧当前元素的个数
要求：提供一个整数数组，返回数组中的每一个元素的在他右边且比他小的数的个数。
比如：
输入 [5,2,6,1] 返回 [2,1,1,0]
最简单的解法就是遍历数组的每一个元素，然后双重循环，在里面对后面的元素进行一一对比，将计数存到结果数组的对应位置。
采用算法进行优化的话有两种方法，一种是根据桶和树状数组，另一个是借助归并排序，归并在另一篇文章进行介绍。
桶和树状数组
桶的使用就是根据数据的最大值 n 创造一个从 0 到 n 的数组（如果最小不是 0 的话，为了和下标一一对应还要做偏移计算），这个数组就叫做桶，在遍历过程中对遍历到的数在桶中 + 1，当遍历完之后，桶内记录的就是每个数出现的次数。并且这个桶是升序的。我们可以从后往前遍历数组，这样桶内记录的数就是当前遍历元素的右边的数各自的数量。接下来只要计算比当前元素小的数有多少个就好了。
给定的数据不一定占满整个桶，比如 [1,2,5] ，创建的桶是 [0,0,0,0,0]，总共大小是 5 个位置，其中 3 和 4 是浪费空间的，他们的数量永远是 0，这时候有一个离散化的概念。就是将没用上的位置去掉，减少桶的长度，但是需要构建一个下标的映射关系，让数和下标对应起来。比如上面的例子离散化之后的桶是 [0, 0, 0]，其中有一个映射关系 { 1: 0, 2: 1, 5: 3 }。
如何动态计算每次桶中的数则用上了前缀和，动态维护前缀和的更好的方法是树状数组。但仅从实现上看，我们知道从后往前遍历，每遍历一个数，比这个元素大的数的前缀和 + 1,有多少个增加多少取决于比当前元素大的数有多少个。这实际上是在上一次的桶的计数总和上递增的，所以这是会构成一个前缀和数组。
如果不用树状数组实现的话，流程大概是：
[5,2,6,1]
桶： [0,0,0,0]
映射关系：{
5: 3,
2: 2,
6: 4,
1: 1
}
前缀和数组：[0,0,0,0,0] // 多一个是为了方便计数前一个的和, 前缀和数组记录的是小于等于下标 i 元素的数的个数
从后往前遍历，插入结果是在前面推入数组 unshift
而 前缀和数组[i - 1] 就是比当前元素小的个数
当前元素 1
1 往后的前缀和都 + 1
前缀和数组：[0,1,1,1,1]
结果：[0]
当前元素 6
前缀和数组：[0,1,1,1,2]
结果：[1,0]
当前元素 2
前缀和数组：[0,1,2,2,3]
结果：[1,1,0]
当前元素 5
前缀和数组：[0,1,2,3,4]
结果：[2,1,1,0]
上面的思路使用代码实现则是：
// nums 是传入的数组, map 是映射,
const result = []
const b = new Array(nums.length).fill(0) // 发挥了桶和前缀和的作用
for(let i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {
const n = nums[i]
for(let j = map[n]; j < b.length; j++) {
b[j]++
}
result.unshift(b[map[n] - 1])
}
当然上面这种普通做法耗时非常长，树状数组通过二分法减少了一些循环递增的过程，下面我们看一下使用树状数组怎么解题。
树状数组采用了二进制进行管理，通过二分法进行操作，计算使用的函数也是著名的 lowbit。想知道更详细的可以在网上搜 lowbit，这里仅贴我看过的两篇文章。
分为查询和更新两个操作，从 i 到 0 是属于从根到最底下叶子的过程，进行查询累加前缀和操作，从 i 到 前缀和数组.length 属于从底下到根的过程，进行更新操作，和普通实现方法一样，比当前元素大的数都需要递增 1。
树状数组的逻辑是怎么样呢？
首先一个前缀和数组，把它想象成一个二叉树， sums[i] 的值是由底下左右两个节点的和，以此类推一直往下，直到叶子节点，前缀和是 0。叶子节点就是前缀和数组的最后的数。
其次更新只对父级元素负责。因为父级元素的右侧比它小的数就是当前元素。
最后查询 i 的前缀和则只需要通过左右子节点一直累加就行了。
使用 lowbit 位运算能进行二分只是数和数之间有一种数学关系而已，通俗点就是有规律。如果想了解，可以去了解为什么可以成立。如果只是使用，知道他是通过 lowbit 计算二分的树状数组就好。
完整代码如下
function countSmaller(nums) {
// 去重，排序，升序是因为方便生成桶
const a = [...new Set(nums)].sort((a,b) => a - b)
// 建立映射
const map = a.reduce((a,b,i) => {
a[b] = i + 1
return a
}, {})
// 生成桶，同时也是前缀和数组
const b = new Array(a.length).fill(0)
const result = Array(nums.length)
for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当前的数映射的下标
const index = map[nums[i]]
// 前一个的前缀和就是比当前元素小的个数
result[i] = getSum(index - 1, b)
// 更新，比当前元素大的前缀和递增 1
updateSum(index, b)
}
return result
}
function lowbit(n) {
// 位运算，得出的是 n 的二进制从右边起第一个 1 的位置
// 比如 6(110) 得出 2
return n & (n * -1)
}
// 树状数组计算前缀和的函数， 从 根n 到 叶子0
function getSum(n, b) {
let res = 0
while(n) {
res += b[n]
n -= lowbit(n)
}
}
// 树状数组的更新，父级， 从 n 到 length
function updateSum(n, b) {
while(n < b.length) {
b[n]++
n += lowbit(n)
}
}
