洛谷 P3287 [SCOI2014]方伯伯的玉米田【二维树状数组优化DP】

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题目链接：洛谷 P3287

题目大意：给定一长度为 $n$ 的序列，最多可进行最多 $k$ 次区间整体 $+1$ 操作。求 $k$ 次操作后的最长不下降子序列长度。

题目分析：

我们首先考虑每次拔高的区间。由于要求最长的单调不下降序列，那么每次拔高的右区间应该都是 $n$，因为这样才不会使右边的单调关系不受影响。

让我们用以下数据来举个例子：

$4\ 3$

$4\ 2\ 1\ 3$

如果我们拔高区间 $[2,2]$ 两次，高度关系就变为了：

$4\ 4\ 1\ 3$

我们发现虽然第二株玉米已经不小于第一株玉米，但是此时第二株玉米已经高余了第四株玉米，最后的答案是没有变的，而很显然我们可以在拔高区间 $[2,2]$ 的同时拔高 $[3,4]$，也就是拔高 $[2,4]$，因为此时无论拔高 $[2,4]$ 多少次，第二、三、四株的高度关系都是不变的，所以我们拔高的区间只能是如下：

$4\ 2\ 1\ 3$

$\ \ \ 2\ 1\ 3$

$\ \ \ \ \ \ 1\ 3$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ 3$

有了这一个结论之后，我们不难定出一个很普通的状态：

$f[i][j]$ 表示前 $i$ 棵一共拔了 $j$ 次，答案显然为 $f[n][k]$

那么如下的暴力状态转移就很容易得到了：

$f[i][j] = f[p][q]_{max} + 1,p < i,q\leq j,Height[p]+q \leq Height[i]+j$

我们接下来考虑一下优化：

$f[i][j]$ 最终要取到 $f[p][q]$ 中的最大值，所以我们考虑用某种东西记录转移部分的最大值，但是同时我们还需要处理拔高的次数，所以我们在处理一个数组：

$g[i][j]$ 表示一共拔高了 $i$ 次，其中最高的一株高度为 $j$

所以我们变换一下状态转移方程：

$f[i][j]=g[p][q]_{max}+1,1 \leq p\leq j,1\leq q\leq Height[i]+j$

但是这样看来，状态转移方程似乎并没有优化，但是真正的优化其实在$g[][]$这个数组，因为我们要求的是这个转移区间的最大值，所以我们考虑将$g[][]$这个数组当做二维树状数组来进行优化处理最大值。

所有我们在寻找最大值答案的时候不妨直接处理 $p,q$ 的极值（更新树状数组同此），即：

$f[i][j]=GetAns(j,Height[i]+j)+1$

由于树状数组的 $LowBit$ 操作，$GetAns(j,Height[i]+j)$ 已经处理完了当前的所有区间

讲到这里，代码其实就很好写了，由于树状数组的下标是不为 $0$ 的，但是这道题当中处理的时候是需要的，所以我们不妨将 $j$ 强行加一位。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define ll long long
using namespace std;

const ll M = 505;
const ll N = 10005;

ll bit[M][N];
ll n, m, k, ans, h[N], f[N][M];

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void update(ll x, ll y, ll z) {
    for (ll i = x; i <= k; i += lowbit(i)) {
        for (ll j = y; j <= m; j += lowbit(j)) {
            bit[i][j] = max(bit[i][j], z);
        }
    }
}

ll getans(ll x, ll y) {
    ll ret = 0;
    for (ll i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        for (ll j = y; j; j -= lowbit(j)) {
            ret = max(ret, bit[i][j]);
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &k);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lld", &h[i]);
        m = max(m, h[i]);
    }

    m += k;
    k++;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = k; j >= 1; --j) {
            f[i][j] = getans(j, h[i] + j) + 1;
            update(j, h[i] + j, f[i][j]);
            ans = max(ans, f[i][j]);
        }
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}