洛谷 P5369 [PKUSC2018]最大前缀和【动态规划】【状态压缩】

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题目链接：洛谷 P5369

题目大意：给定长度为 $n$ 的序列，将序列随机打乱后，求最大前缀和。求结果的期望值。

题目分析：

首先，我们考虑一下答案应该如何进行计算：

设$max_i$表示第$i$种排列的最大前缀和，由于一共有$n!$个排列，所以最后的答案就应该为：

$Ans=(\frac{max_1}{n!}+\frac{max_2}{n!}+...+\frac{max_{n!}}{n!})*n!$

$Ans=\frac{\sum_{i=1}^{n!}max_i}{n!}*{n!}$

$Ans=\sum_{i=1}^{n!}max_{i}$

通过上面式子的化简，我们发现最终所求的结果其实就是所有排列的最大前缀和之和。

接下来，我们开始考虑对于每一个排列，最大前缀和出现的位置在何处。我们假设最大前缀和的前缀的最后一个数的位置为$p$，那么一定位置$p$之后的数列的前缀之和都要$<0$，否则，我们显然可以替换掉位置$p$使得最大前缀和达到更大的一个值。所以我们就把每一个排列分为两个部分来考虑，分割点就是$p$。

我们记$Sum[i]$表示$i$这个状态（排列）的数值之和。

$f[i]$表示在$i$这个状态下最大前缀和为$Sum[i]$的方案数，那么显然有转移：

$j∉i，Sum[i]>0，f[i]\rightarrow f[i+j]$

$g[i]$表示在$i$这个状态下的最大前缀和都$\leq 0$的方案数，同样，我们有转移：

$j∉i，Sum[i+j]<=0，g[i]\rightarrow g[i+j]$

因此，我们就得到了我们想要的最后的答案，根据加法原理和上述状态定义，可以得到：

$Ans=\sum_{i=0}^{maxState}Sum[i]*f[i]*g[maxState-i]$

#include <bits/stdc++.h>

const int mod = 998244353;

#define lowbit(x) (x & (-x))
#define add(X,Y) if (((X) += (Y)) >= mod) (X) -= mod

using namespace std;

int n, t, ans, a[1 << 20], sum[1 << 20];
int f[1 << 20], g[1 << 20];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    t = (1 << n) - 1;

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[1 << i] = 1;
        scanf("%d", &a[1 << i]);
    }

    for (int i = 0; i <= t; ++i) {
        sum[i] = sum[i ^ lowbit(i)] + a[lowbit(i)];
    }

    for (int i = 0; i <= t; ++i) {
        if (sum[i] > 0) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (!((i >> j) & 1)) {
                    add(f[i | (1 << j)], f[i]);
                }
            }
        }
    }

    g[0] = 1;
    for (int i = 0; i <= t; ++i) {
        if (sum[i] <= 0) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if ((i >> j) & 1) {
                    add(g[i], g[i ^ (1 << j)]);
                }
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i <= t; ++i) {
        add(ans, (1ll * (sum[i] + mod) * f[i] % mod * g[t ^ i] % mod));
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}