洛谷 P2467 [SDOI2010]地精部落【动态规划】Offer 驾到，掘友接招！我正在参与2022春招打卡活动，点

Offer 驾到，掘友接招！我正在参与2022春招打卡活动，点击查看活动详情。

题目大意：求长度为 $n$ 的波动数列的数量。

我们首先设立状态： $f[i][j]$ 表示在 $i$ 的全排列中，首项为山峰并且取值在 $[1,j]$ 的方案数。

接下来考虑 $f[i][j]$ 如何进行转移来的。根据状态的设立，此状态首项的取值区间为 $[1,j]$ ，即 $[1,j-1]+[j,j]$ ，而此时 $f[i][j-1]$ 我们是已经算出来的了，那么接下来我们就只需要再考虑在 $i$ 的全排列中，首项为山峰并且值为 $j$ 的情况。

由于此时我们已经确定了首先的值，那么接下来我们就只需要再确定第 $2$ 到第 $i$ 项一共 $i-1$ 项的值，不难发现，这 $i-1$ 项的取值仍然是 $i-1$ 的全排列，再由于我们整个序列不是向上（ $a[i-1]<a[i]>a[i+1]$ ）就是向下（ $a[i-1]>a[i]<a[i+1]$ ），我们仍然容易得到：

相邻的两个位置不可能同时向上或者向下，也就是说如果此时 $i$ 号位置是向上的，那么 $i+1$ 号位置一定向下。

根据这样的结论，我们就可以确定第 $2$ 号位置一定是向下的，那么在剩下来的 $[1,i-1]$ 个数当中，哪些数全出来一定可以满足 $2$ 号位置是向下的呢？这个就比较显然了，如果要满足这个要求的话，那么 $2$ 位置的数应在 $[1,j-1]$ 当中选，用我们设立的状态来表示就是 $f[i-1][(i-1)-(j-1)]=f[i-1][i-j]$ 了。

所以我们现在得到了状态转移方程：

$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]$

但是到这里其实还没有完，注意我们在设立状态的时候提前说明了首项为山峰，那么首项为山谷的情况怎么办呢？其实同样考虑得到同样的方程，所以我们只需要把最后的结果翻倍就好了。

另外要注意的是，我们需要使用滚动数组优化第一维数组。

也许分析到这里，我们会突然觉得这道题不是很难，但是仔细回味一下这道题的过程，还是可以给我们很多的启示。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 5e3 + 5;

int n, m, cur, f[2][N];

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if (n == 1) {
        puts("1");
        return 0;
    }
    f[0][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        cur ^= 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            f[cur][j] = (f[cur][j - 1] + f[cur ^ 1][i - j]) % m;
        }
    }
    printf("%d", f[cur][n] * 2 % m);
    return 0;
}