Offer 驾到，掘友接招！我正在参与2022春招打卡活动，点击查看活动详情。

题目描述

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。 给定平面上 $2 × 3$ 个整点 $\{(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\}$，即横坐标是 $0$ 到 $1$ (包含 $0$ 和 $1$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $2$ (包含 $0$ 和 $2$) 之间的整数的点。这些点一共确定了 $11$ 条不同的直线。 给定平面上 $20 × 21$ 个整点 $\{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\}$，即横坐标是 $0$ 到 $19$ (包含 $0$ 和 $19$) 之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $20$ (包含 $0$ 和 $20$) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

思路详解——第二次迭代版本

上次我们使用的直线方程是斜截式，由于斜率k是同时含分子分母的数，表达比较繁琐。

本次经过迭代后的代码使用的直线方程是一般式：$Ax+by+C=0$。 经过计算，设两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$确定一条直线，则：

注意，两条完全相同的直线其$A,B,C$不一定是相同的，而是有可能具有相同的倍数，如同$2x-3y+4=0$与$-4x+6y-8=0$是同一条直线。因此对于每两个点，它们算出来的$A,B,C,$我们需要化成最简，方法就是同时除以它们三个共同的$gcd$.三个数的$gcd$计算方式如下： $gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)$ (其实对于任意多的数都可以如此递归求$gcd$) 同时，如果$A$是负数，把$a,b,c$同时乘以$-1$。这样，所有计算出来的直线方程都转换为了最简式且$A$非负，判断相等的方式变味了最简单的：$A,B,C$同时相等。

struct line{
	int a,b,c;//坚持a是正数 
};
line getline(int x1,int y1,int x2,int y2){
	int a=y2-y1;
	int b=x2-x1;
	int c=(x2-x1)*y1-(y2-y1)*x1;
	int tmp=gcd(abs(a),abs(b),abs(c));
	a=a/tmp,b=b/tmp,c=c/tmp;
	if(a<0)a=-a,b=-b,c=-c;
	return line{a,b,c};
}

最后还有一个小点需要注意那就是这个表达方式不支持k=0和k不存在的情况。解决方法就是y_1=y_2或x_1=x_2时跳过，最后在结果上加41即可。

本次的代码，相比上次的繁琐的表达方式有了很大改进。下面搬出完整代码。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define pp pop_back
using ll=long long;
using db =double;
int gcd(int a,int b){
	if(a<b)return gcd(b,a);
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int gcd(int a,int b,int c){
	return gcd(gcd(a,b),c);
}
struct line{
	int a,b,c;//坚持a是正数 
	bool operator==(const line &x)const{
		return a==x.a&&b==x.b&&c==x.c;
	}
};
line getline(int x1,int y1,int x2,int y2){
	int a=y2-y1;
	int b=x2-x1;
	int c=(x2-x1)*y1-(y2-y1)*x1;
	int tmp=gcd(abs(a),abs(b),abs(c));
	a=a/tmp,b=b/tmp,c=c/tmp;
	if(a<0)a=-a,b=-b,c=-c;
	return line{a,b,c};
}
vector<line> lines;
int main(){
	cout<<lines.size()<<' ';
	for(int x1=0;x1<=19;x1++){
		for(int y1=0;y1<=20;y1++){
			for(int x2=0;x2<=19;x2++){
				for(int y2=0;y2<=20;y2++){
					if(y2-y1==0||x2-x1==0)continue;
					auto li=getline(x1,y1,x2,y2);
					int flag=1;
               for(auto li2:lines){
                  if(li2==li)flag=0;
               }
               if(flag)lines.pb(li);
				}
			}
		}
	}
	cout<<lines.size()+20+21;
	return 0;
}