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题目描述

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 2 × 3 个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横坐标是 0 到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数的点。这些点一共确定了 11 条不同的直线。

给定平面上 20 × 21 个整点 {(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z}，即横坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

思路

做算法题，很容易走一些不该走的弯路，比如明明是无脑遍历，却总想着要动态规划。怎么大致确定每一道题的大致思路方向呢？一个大方向就是——看它的数据量。如这道题所示，两点确定一条直线，一共$20*21=420$个点，也就是说大概在$420^2$的复杂度，遍历的话完全可以接受。因此果断将思路集中在暴力遍历所有点。

但是这道题重点的重点还是判断两个直线是不是同一条。一开始我痴迷于画图找规律，总想着有什么O(1)解法，但是事实证明有些事还是要交给聪明的计算机来做~~~

对于任意两个点形成的直线，我们只需要求出他的方程式$y=kx+b$的k和b，然后就可以通过 $k$ 和 $b$ 是否相等来判断是不是一条直线了。当然要考虑 $k$ 不存在的情况，只需简单的在结果上加上20即可。

对于$(x_1,x_2),(y_1,y_2)$两个点(其中$x_1\not=x_2$),设其直线方程为 $y=kx+b$ ,则经过计算得：

由于k是两数相除，直接求解判相等会出现精度问题。因此，需要将其化为最简分数然后保存分子分母。方法就是令分子和分母同时除以两者的gcd。 以下是求最简k的函数。

void computek(int &dx,int &dy){
	int tmp=gcd(dx,dy);
	dx=dx/tmp;
	dy=dy/tmp;
}

判断k是否相等，只需要判断分子和分母是否同时相等即可。需要注意的是符号问题需要额外处理一下。

若 $k$ 相等，则判断 $b$ 是否相等。设两直线 $b_1=-kx_1+y_1,b_2=-kx_2+y_2,$ 设 $b_1=b_2$ 得 $\frac{y2-y1}{x_2-x_1}=k$ ,又回到了判断k相等的问题。 判断函数如下：

struct line{
	int kx,ky;
	bool fu;
	int x1,y1;
};
bool iseql(line &a,line &b){
	if(a.kx==b.kx&&a.ky==b.ky&&a.fu==b.fu){
		if(a.x1==b.x1&&a.y1==b.y1){
			return 1;
		}else{
			int dy=a.y1-b.y1;
			int dx=a.x1-b.x1;
			int fu=dx*dy<0;
			dy=abs(dy);
			dx=abs(dx);
			computek(dx,dy);
			if(dx==a.kx&&dy==a.ky&&fu==a.fu){
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

至此所有主要问题都已解决。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define pp pop_back
using ll=long long;
using db =double;
int gcd(int a,int b){
	if(a<b)return gcd(b,a);
	if(b==0)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
void computek(int &dx,int &dy){
	int tmp=gcd(dx,dy);
	dx=dx/tmp;
	dy=dy/tmp;
}
struct line{
	int kx,ky;
	bool fu;
	int x1,y1;
};
bool iseql(line &a,line &b){
	if(a.kx==b.kx&&a.ky==b.ky&&a.fu==b.fu){
		if(a.x1==b.x1&&a.y1==b.y1){
			return 1;
		}else{
			int dy=a.y1-b.y1;
			int dx=a.x1-b.x1;
			int fu=dx*dy<0;
			dy=abs(dy);
			dx=abs(dx);
			computek(dx,dy);
			if(dx==a.kx&&dy==a.ky&&fu==a.fu){
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
vector<line> lines;
int main(){
	for(int x1=0;x1<=19;x1++){
		for(int y1=0;y1<=20;y1++){
			for(int x2=0;x2<=19;x2++){
				for(int y2=0;y2<=20;y2++){
					int dy=y2-y1;
					int dx=x2-x1;
					if(dx==0)continue;
					int fu=dx*dy<0;
					dy=abs(dy);
					dx=abs(dx);
					computek(dx,dy);
					line a={dx,dy,fu,x1,y1};
					int flag=1;
					for(auto b:lines){
						if(iseql(a,b))flag=0;
					}
					if(flag)lines.pb(a); 
				}
			}
		}
	}
	cout<<lines.size()+20;
	return 0;
}

总结

这次算是本道题的初代版本，由于涉及到正负号问题所以写的有点乱。下次会推出迭代版本，跑的更快（这篇文章的代码我跑了将近半分钟才跑完）