排序算法（四）希尔排序希尔排序是针对插入排序的一种改进。希尔排序主要是在开始排序之前，将数据进行粗略的排序，从而使得算法

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希尔排序是针对插入排序的一种改进。希尔排序主要是在开始排序之前，将数据进行粗略的排序，从而使得算法的平均时间复杂度低于 O( $n^2$ )。但是在一些极端情况下，时间复杂度仍是 O( $n^2$ )，且比直接插入排序还要慢，是一种不稳定的排序方法。

核心思想

首先设置一个增量 gap，并将数组按此 gap 进行分割。这里的 gap 可以理解为跨度，即根据 gap 设置分组，每组内的元素之间的下标距离为 gap 值。
- 如：数组长度为20，gap 设为5，则将整个数组分割为5组，每组四个，组内每个元素的下标相差5。
之后对每个区间内的数进行组内排序，这个排序使用插入排序即可。
重复上面两步，并且每次重复时，步长是不断缩小的，直到步长为1。

示例

希尔排序的示例如下所示，示例信息来源于漫画：什么是希尔排序？：

如何对原始数组进行预处理呢？聪明的科学家想到了一种分组排序的方法，以此对数组进行一定的“粗略调整”。

图片来源于漫画：什么是希尔排序？

所谓分组，就是让元素两两一组，同组两个元素之间的跨度，都是数组总长度的一半，也就是跨度为4。

图片来源于漫画：什么是希尔排序？

如图所示，元素5和元素9一组，元素8和元素2一组，元素6和元素1一组，元素3和元素7一组，一共4组。

接下来，我们让每组元素进行独立排序，排序方式用直接插入排序即可。由于每一组的元素数量很少，只有两个，所以插入排序的工作量很少。每组排序完成后的数组如下：

(图片来源于漫画：什么是希尔排序？)

这样一来，仅仅经过几次简单的交换，数组整体的有序程度得到了显著提高，使得后续再进行直接插入排序的工作量大大减少。这种做法，可以理解为对原始数组的“粗略调整”。

但是这样还不算完，我们可以进一步缩小分组跨度，重复上述工作。把跨度缩小为原先的一半，也就是跨度为2，重新对元素进行分组：

(图片来源于漫画：什么是希尔排序？)

如图所示，元素5，1，9，6一组，元素2，3，8，7一组，一共两组。

接下来，我们继续让每组元素进行独立排序，排序方式用直接插入排序即可。每组排序完成后的数组如下：

(图片来源于漫画：什么是希尔排序？)

此时，数组的有序程度进一步提高，为后续将要进行的排序铺平了道路。

最后，我们把分组跨度进一步减小，让跨度为1，也就等同于做直接插入排序。经过之前的一系列粗略调整，直接插入排序的工作量减少了很多，排序结果如下：

(图片来源于漫画：什么是希尔排序？)

让我们重新梳理一下分组排序的整个过程：

(图片来源于漫画：什么是希尔排序？)

希尔排序的优化

希尔增量能高效率完成的关键点在于分组，即如何设置增量。所以，即使要对希尔排序进行优化，也都是集中在增量上。

设置增量的一个关键点就是互质。互质指得是元素互相置换，如果进行了多轮，都只有很少的元素进行了互质，实际上相当于希尔排序的关键点，分组进行粗略排序，没有起作用，效率并没有提高。

所以对增量优化的核心在于如何提高互质率，一个比较好的增量有如下要求：

最后的增量一定是1。
增量序列尽可能不互为倍数，尤其是相邻的。比如2, 4, 8, 16... 这种的增量。

增量设置方法

希尔增量：是一种逐步折半的增量方法，即第一次的增量为 数组长度 / 2，之后每次的增量都是上一次的增量 /2，一直到增量为1时，为止。虽然这个是常用的，并且是原装的，但是并不是一种好选择。
- 时间复杂度：最好的空间复杂度为𝑂( $𝑛^1$$^.$$^3$ )，最坏的时间复杂度为𝑂( $𝑛^2$ )。
Hibbard增量：取法为 𝐷_𝑘=2 $^k$ −1。
- 使用方法：需要首先计算出能够使用的 Hibbard 增量。k的初始值始终为1，k 不断自增，每次自增根据 k 计算增量。并且最后的增量值要小于数组长度的一半。最后依次从最后一位增量向前开始使用增量。
  - 如：长度为20，依次计算生成的增量分别是1, 3, 7，使用增量时则按7, 3, 1的顺序来使用。即第一次增量为7，第二次为3，第三次为1。
- 时间复杂度：最坏时间复杂度为𝑂( $n^3$$^/$$^2$ )；平均时间复杂度约为𝑂( $n^5$$^/$$^4$ )
Knuth 增量：取法为 h_i = ( 3 $^i$ − 1 ) / 2。
- 使用方法：同Hibbard增量。也是k的初始值始终为1，k 不断自增，每次自增根据 k 计算增量并取对应的值。
- 简化版公式为：初始增量为1，每次计算设上次的增量为x。直接使用 3x + 1 即可。
  - 如：第一个增量是1，第二个为 3 * 1 + 1，第三个是 3 * 4 + 1，第四个是3 * 13 + 1，依次类推。
- 时间复杂度：𝑂( $n^3$$^/$$^2$ )。

Code

function sortArray(nums: number[]): number[] {
  const len: number = nums.length;
  let gapArray: number[] = [1];

  while (1) {
    const gap: number = 3 * gapArray[gapArray.length - 1] + 1;
    if ( gap < len / 2 ) {
      gapArray.push( gap );
    }else {
      break
    }
  }
  
  for (let gapIdx: number = gapArray.length - 1; gapIdx >= 0; -- gapIdx) {
    const gap: number = gapArray[gapIdx];
    let startIdx: number = 0
    for (let idx = startIdx + gap; idx < len; idx += gap ) {

      let nowIdx: number = idx;
      while (nowIdx - gap >= 0 && nums[nowIdx] < nums[nowIdx - gap]) {
        const tmp: number = nums[nowIdx];
        nums[nowIdx] = nums[nowIdx - gap];
        nums[nowIdx - gap] = tmp;
        nowIdx = nowIdx - gap
      }
      ++ startIdx
    }
  }

  return nums
};

复杂度分析

时间复杂度：𝑂( $n^3$$^/$$^2$ )。

空间复杂度：O( 1 )。