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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

3.1 连通度

定义3.1 ：点断集

（1）设$G$连通，$V^{'}\subset V(G),G[V-V^{'}]$不连通，则称$V^{'}$为$G$的点断集

去掉$G$的一些顶点后，$G$不再连通，则这些点为$G$的一个点断集

（2）最小点断集中顶点的个数称为$G$的连通度，记为$K(G)$

• 若$G$无点断集，则规定$K(G)=v(G)-1$
• 若$G$不连通，则 $K(G) = 0$
• 若$G$平凡，则 $K(G) = 0$

由一个顶点组成的点断集称为割点

（3）若$k \leq K(G)$，称$G$为$k-$连通图

上面这句话的意思可以理解为：若$K(G)=3$，则可以称$G$为3-连通图、2-连通图、1-连通图   为使$G$称为不连通图或平凡图，至少需要删除$k$个顶点，则$k$为$G$的连通度

定义3.2

（1）设$G$连通，$E^{'}\subseteq E(G),G-E^{'}$（从$G$中删除$E^{'}$中的边）不连通，则称$E^{'}$是$G$的边断集

删除$G$中的一些边后，使得$G$不再连通，则这些边组成$G$的边断集

（2）最小边断集所含的边数称为$G$的边连通度，记为$K^{'}(G)$

• 当$|E^{'}|=1$时，称$E^{'}$中的边$e$为割边
• 若$G$是平凡图，则$K^{'}(G)=0$
• 若$G$是不连通图，则$K^{'}(G)=0$

割边：去掉$G$中的一条边后，$G$不再连通，这条边被称为割边

（3）若$k \leq K^{'}(G)$，称$G$为$k-$边连通图

定理3.1

$K(G) \leq K^{'}(G)\leq \delta$

---

证明：

设$d(v)=\delta$，则去掉与$v$相连的$\delta$条边后

$G$不连通，有

$K^{'}(G) \leq \delta$

当去掉$\delta$条边后，$G$一定是不连通的   但是对于去掉小于$\delta$条边后，$G$也可能是不连通的（比如去掉1条边 $G$就不连通了 ）   所以$K^{'}(G) \leq \delta$

证$K(G)\leq K^{'}(G)$稍微有点复杂，这里使用数学归纳法

当$K^{'}(G)=0$时 说明$G$为连通图或平凡图 $\Rightarrow K(G) = 0$

当$K^{'}(G)=1$时，说明$G$存在割边，则一定存在割点 $\Rightarrow K(G) = 1$

设$e=(u,v)$为$G$的割边 则去掉$u或v$的同时，一定会去掉割边$e$，可以得到一个不连通图 所以$G$存在割边，则一定存在割点

假设$K^{'}=k$时，$K(G) \leq K^{'}(G)$成立

那么我们就需要证明当$K^{'}=k+1$时，$K(G) \leq K^{'}(G)$成立

令$K^{'}(H)=k+1\geq 2$，$E$是$H$的一个边断集，且$|E|=k+1$

假设$e=uv\in E$，则

$K^{'}(H-e)=(k+1) - 1= k$

因为$e$是最小边断集中的一条边 当$e$不存在时 那么最小边断集的数量会减1

所以$H-e$中，必定存在一个顶点集$S$，使得$[H-e] - S$不连通或平凡，且$|S|\leq k$

因为$K^{'}(H-e)=k$ 说明$H-e$中最少去掉$k$条边后，$H-e$不连通 若这$k$条边所连接的顶点无重合 则至少需要去掉$k$个顶点才会同时去掉这$k$条边，说明$|S|=k$ 若这$k$条边所连接的顶点有重合（即存在一个顶点连接不止这$k$条边中的一条边） 所以去掉边断集中$k$条边所需要去掉的顶点数是小于$k$的，说明$|S|<k$ 综上，$|S|\leq k$

此时$S^{'}=S\cup\{u\}或S\cup \{v\}$可使$H-S^{'}$不连通或平凡

$u,v$连成的边$e\in E$ 若只去掉$S$，$G$还是连通的 因为还有一条边$e\in E$没有去掉 所以还需要去掉$e$连接的任意一个顶点$u或v$ 这样$H-S-u或H-S-v$才是不连通的

所以，此时$H$的点连通度$K(G)$满足

$K(G)\leq|S^{'}|=|S \cup \{u\}|$

去掉$|S \cup \{u\}|$后，$H$一定是不连通的 但是依然还是存在去掉数量比$|S\cup \{u\}|$少的顶点，使得$H$依然不连通 所以$K(G)\leq|S^{'}|=|S \cup \{u\}|$

又因为

$|S \cup \{u\}|\leq k + 1 = K^{'}(H)$

所以得到

$K(G) \leq K^{'}(G)$

定理3.2

设$G$是$v\geq 3$的图，则$G$是$2-$点连通图充要条件是$G$的任意两个顶点至少由两条内不相交的路径连通

推论3.2.1

若$G$是$2-$连通图（$v\geq 3$），则$G$的任二顶点总位于$G$的某个圈上

推论3.2.2

若$G$是$2-$连通图（$v\geq 3$），则$G$的任意两条边总位于$G$的某个圈上

定理3.2：门格尔定理（Menger）

若$G$是$k-$连通图（$v\geq 3$），则$G$

• 任二顶点总位于$G$的某个圈上
• 任意两条边总位于$G$的某个圈上

定理3.3

若$G$是$v\geq k + 1$的$k-$点连通图，则$G$的任意两个顶点总至少由$k$条内不相交的路径连通

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正