【刷题记录】4. 寻找两个正序数组的中位数

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一、题目描述

来源：力扣（LeetCode）

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。

请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 $O(log (m+n))$ 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]

输出：2.00000

解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]

输出：2.50000

解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5  

提示：

• nums1.length == m
• nums2.length == n
• 0 <= m <= 1000
• 0 <= n <= 1000
• 1 <= m + n <= 2000
• -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

二、思考分析

1 简单暴力-合并数组求解中位数

• 直接合并两个有序数组，得到一个数组。然后直接得到中位数即可。这个可能是我们第一时间想到的方法。不考虑时间复杂度的话。
• 这种方法的时间复杂度为$O(m+n)$ 不满足题目$O(log (m+n))$的要求

2. 二分法

• 对于一个正序的数组，查找数组的中位数，实质上就是寻找数组中第X小的数组（X就是中位数位于数组中的第几位），所以我们可以把这个问题转换为寻找第X个数。

• 对于两个正序数组来说，就是寻找两个数组中第 2/X 小的数组

• 然后比较两个数组的第2/X个数的大小

  • 如果 第一个数组num1 的第2/X 个数字小于于第二个数字的 那么说明 num1的前 2/X 个数组中不存在我们最终需要找的整体第X/2小的值 ，可以排除这些数
  • 因为排除的数组肯定位于中位数前面 然后在排除之外的两个新数组 X-排除的数 小的即可
  • 为了防止数组长度小于 X/2，所以每次比较 min(X/2，len(数组) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 X 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 X=1 或者其中一个数字长度是 0 了。

三、代码实现

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n = nums1.length;
        int m = nums2.length;
        int x = n + m;

        if(x % 2 == 0){
            int l = findnum(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, x/2 );
            int r = findnum(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, x/2+1 );
            return (l + r) / 2.0 ;
        }

        return findnum(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, x/2+1);
    }

    private int findnum(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int x) {
        int len1 = end1 - start1 + 1;
        int len2 = end2 - start2 + 1;
        //为了好区别遍历 我们统一将num1当做短的数组
        if (len1 > len2) return findnum(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, x);
        if (len1 == 0) return nums2[start2 + x - 1];
        
        if (x == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);

        int i = start1 + Math.min(len1, x / 2) - 1;
        int j = start2 + Math.min(len2, x / 2) - 1;

        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            return findnum(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, x - (j - start2 + 1));
        }
        else {
            return findnum(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, x - (i - start1 + 1));
        }
    }
}

时间复杂度 $O(log(m+n))$

总结

多思考问题的本质，然后将问题转为我们我们熟悉的思想。