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题目描述
给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输入格式
第一行包含整数 n，表示数字三角形的层数。
接下来 n 行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。
输出格式
输出一个整数，表示最大的路径数字和。
数据范围
1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000
输入样例：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出样例：
30
思路
我们可以很容易发现这道题是一道动态规划中的线性DP的问题，于是可以从这样一个角度去思考。先想明白状态表示和状态计算，状态表示f[i,j] 代表一个集合，它的含义是：所有从起点走到(i,j)的路径；这样一个集合就表示从起点走到(i,j)路径的最大值。状态计算出这个集合我们可以把f[i,j]分成两部分，来自坐上的点和来自右上的点。
来自左上：f[i,j] = f[i - 1, j -1] + a[i,j]，从当前点的左上看，加上当前点的路径值仍然是最大（a[i,j]表示当前点的路径值），同理可得右上公式:f[i,j] = f[i -1,j] + a[i,j];
如图所示，每个节点都可以用坐标（i，j）表示；
代码
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 1e9;
int q[N][N], a[N][N];
int main()
{
// 读入数据
int n;
cin >> n;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = 1;j <= i;j ++)
{
cin >> q[i][j];
}
}
// 边界处理
for(int i = 0;i <= n;i ++)
{
for(int j = 0;j <= i + 1;j ++)
{
a[i][j] = -INF;
}
}
a[1][1] = q[1][1];
// 状态计算
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
for(int j = 1;j <=i;j ++)
{
a[i][j] = max(a[i - 1][j - 1] + q[i][j], a[i - 1][j] + q[i][j]);
}
}
// 取最后一行最大的结果
int result = -INF;
for(int j = 1;j <= n;j ++) result = max(result,a[n][j]);
cout << result << endl;
return 0;
}
总结
线性DP等动态规划问题都可以从状态表示和状态计算两个问题入手。
