本文作为系列文章的开篇，记录与分享最近读的数学读物中的有趣知识。

所谓数学证明题，先读懂问题，然后进行证明

证明

本文章要证明的问题： $\sqrt{2}$ 是无理数

那么从定义出发，首先要搞懂什么是有理数？

有理数

有理数指的是能够用以下式子表明的数，有理数用Q表示

Q = \frac{n}{m};m,n\in Z \,and\, m \neq 0

其中Z是整数，整数的概念肯定都明白

反证法

给定一需要证明的数学命题，假设为正确。然后在该命题正确的情况下进行推导，最后如果推导出不符合该命题的结论，即可证明该命题为错误

也就是拒绝该命题。

下面利用反证法证明该问题。

第一步：首先我们假设： $\sqrt{2}$ 是有理数

证明方法一：常规方法

因为 $\sqrt{2}$ 是有理数，所以可以采用下面的表示

\sqrt{2} = \frac{n}{m} \qquad (1)

其中m和n是互质，也就是说m和n不可以进行约分

然后两边取平方值

2 = \frac{n^2}{m^2} \qquad (2)

2m^2 = n^2 \qquad (3)

进行推理：

m是整数-> $m^2$ 同样是整数-> $m^2$ 是偶数-> $n^2$ 是偶数

因为 $n^2$ 是偶数，那么n只能是偶数！

因为n是偶数，所以可以令

n=2a,a\in Z \qquad (4)

将该等式带入公式3中

2m^2=(2a)^2=4a^2 \qquad (5)

即

m^2=2a^2

这种形式有没有很熟悉？对，没错，同理可得m是偶数

因为m、n都为偶数，与最开始的设定 $\frac{n}{m}$ 不可约分相矛盾，所以拒绝原假设。

所以 $\sqrt{2}$ 是无理数

总结，以上的方法利用反证法，假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，然后从有理数的定义出发，进一步推导，推导出与原假设相矛盾的地方，则说明原假设失败。

证明方法二

首先说明一下质因数唯一分解定理.

质因数唯一分解定理：对于一个整数a，则a可以进行如下表示

a =p_1p_2\ldots p_n;p_1,\ldots,p_n \in Prime

即a只有一种被质数分解的表示方法。这就是质数唯一分解定理的意思

好了，现在正是说明方法二的逻辑。

开始部分与上述方法相同，我们得到了公式(3)

2m^2 = n^2 \qquad (3)

假设m的质因数分解中有k个2，那么 $m^2$ 这个平方数的质因数分解中一定有 $2k$ 个，即偶数个2.

那么同理，同样作为平方数的 $n^2$ ,它的质因数分解中一定有偶数个2。

那么 $2m^2$ 的质因数分解一定有奇数个2，但是与其相等的数 $n^2$ 的质因数分解却有偶数个2.

那么

2m^2\neq n^2 \qquad (6)

可见(3)和(6)正好矛盾，所以原假设是错误的，最终得出结论 $\sqrt{2}$ 是无理数。

总结

从定义出发，首先阐明有理数的定义，然后利用反证法自证矛盾，得出结论 $\sqrt{2}$ 不是有理数。亮点在于第二种方法采用质因数分解唯一定理进行头脑风暴一波，即可得出结论。

参考

结城浩《数学女孩2》

证明：根号2是无理数

证明

有理数

反证法

证明方法一：常规方法

证明方法二

总结

参考