一、生活中的树

组织架构图

二、认识树

我们下认识一下上图中这棵树：

• 1.结点：树中的一个独立单元，包含一个数据元素及若干指向其他子树的分支，如A B C D...等等都是树中的一结点；
• 2.结点的度：结点拥有的子树，如A有B C D三个子树，则称A的度为3;
• 3.树的度：结点的度的最大值，如A的度为3、B的度为2、C的度为1，所有节点中度最大为3，所以树的度为3；
• 4.叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点，如K J F G M I J;
• 5.根结点：最上面的结点A称为根结点；
• 5.非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点，除根结点以外的非终端结点又称为内部结点；
• 6.双亲结点和子结点：B有子结点E和F，则B为E和F的双亲结点，E和F为B的子结点；
• 7.兄弟结点：有相同双亲结点的结点，如E和F为兄弟结点；

• 8.层次：根结点在第一层，根结点的子结点在第二层，任一节点所在的层次等于双亲结点的层次+1；
• 9.高度：结点到叶子结点的路径数（边数）；
• 10.深度：根结点到结点所经历的边数。

三、二叉树

如上图中，所有的结点最多只有两个子树的树，即所有结点的度都小于等于2，我们称之为二叉树，二叉树有如下特征：

• 1.二叉树的每个结点最多两个子树；
• 2.二叉树的两个子树有左右之分，称之为左子树和右子树，当结点只有一个子树时，左子树和右子树不等同。

四、二叉树的分类

1.斜树

斜树的特点：只有左子树或只有右子树。

2.满二叉树

• 1.所有叶子结点都在同一层；
• 2.除叶子结点以外的其他结点都有左子树和右子树。

3.完全二叉树

• 1. 叶⼦结点只能出现在最下面两层;
• 2. 最下层的叶⼦⼀定集中在左部连接;
• 3. 倒数第⼆层,若有叶⼦节点, ⼀定都在右部连接位置;
• 4. 如果结点度为1, 则该结点只有左孩⼦, 既不存在只有右⼦树的情况;
• 5. 同样结点数的⼆叉树, 完全⼆叉树的深度最⼩。

完全二叉树的判断，以下树都不是完全二叉树：

5结点度为1，但是只有右子树

应该只有第3、4层有叶子结点，但是第2层也有叶子结点3。

最下面一层的叶子结点没有集中在左部连接。

4.二叉树的性质

• 1.二叉树的第i层上，最多有2的(i-1)次方个结点；
• 2.深度为k的树最多有(2的k+1次方)-1个结点;
• 3.有n个结点的完全二叉树的深度为（log以2为底n的对数）+1;
• 4.对有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下，从左到右的顺序的顺序从1开始对所有的结点编号，则对任意序号为i的结点有：
• a.如果i=1，则序号为i的结点为根结点，根结点无双亲结点；
• b.如果i>1，则序号为i的结点的双亲结点的序号为i/2；
• c.如果2*i <= n，则序号为i的结点的左孩子的序号为2*i；
• d.如果2*i > n，则序号为i的结点无左孩子；
• e.如果2*i + 1 <= n，则序号为i的结点的右孩子的序号为2*i+1;
• f.如果2*i + 1 > n，则序号为i的结点无右孩子。

五、总结

树形结构的特征是一对多的，树中我们主要学习二叉树在日常开发中的应用。