[路飞]_用 Rand7() 实现 Rand10()

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leetcode-470 用 Rand7() 实现 Rand10()

题目介绍

给定方法 rand7 可生成 [1,7] 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 [1,10] 范围内的均匀随机整数。

你只能调用 rand7() 且不能调用其他方法。请不要使用系统的 Math.random() 方法。

每个测试用例将有一个内部参数 n，即你实现的函数 rand10() 在测试时将被调用的次数。请注意，这不是传递给 rand10() 的参数。

示例1

输入: 1
输出: [2]

示例2

输入: 2
输出: [2,8]

示例3

输入: 3
输出: [3,8,10]

提示:

• 1 <= n <= 10^5 进阶:

• rand7()调用次数的 期望值 是多少 ?

• 你能否尽量少调用 rand7() ?

解题思路一

首先思考一个问题，rand10 指的是等概率的生成 [1, 10] 中的整数，也就是说，生成每个整数的概率都是 1/10。如果用 rand10 实现 rand7 的话，应该怎么实现？

可以直接用 rand10 生成一个随机数，如果生成的数属于 [1, 7] 就可以了，上面已经说过了，生成每个数的概率都是 1/10，因此符合题目所给的 rand7 的性质。如果生成的数属于 [8, 10]，可以重新生成随机数

那么为什么 rand7 不能直接生成 rand10？因为数不够，因此我们的思考方向就是想办法利用 rand7 等概率的生成超过 10 个数

rand7() + rand7() ?

rand7() + rand7() 确实可以生成 13 个数 [2, 14]，但是并不是等概率的，看一下下面的表格

+	1	2	3	4	5	6	7
1	2	3	4	5	6	7	8
2	3	4	5	6	7	8	9
3	4	5	6	7	8	9	10
4	5	6	7	8	9	10	11
5	6	7	8	9	10	11	12
6	7	8	9	10	11	12	13
7	8	9	10	11	12	13	14

rand7() * 7 ?

rand7() * 7 会得到 {1, 14, 21, 28, 35, 42, 49}，只能等概率生成这几个数中的一个，中间的空白怎么补上？可以用加法，但是 1 加上任意不为 0 的数都将大于 1，因此考虑 (rand7() - 1) * 7

(rand7() - 1) * 7 ?

rand7() - 1 会等概率生成 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(rand7() - 1) * 7 会等概率生成集合A {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42}，怎么填补空白，加上 rand7

(rand7() - 1) * 7 + rand7() ?

rand7 等概率生成集合B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
因为 (rand7() - 1) * 7 和 rand7() 是两个独立事件，根据概率论 P(AB) = P(A) * P(B) = 1/7 * 1/7 = 1/49，因此 (rand7() - 1) * 7 + rand7() 能够等概率生成 [1, 49]

因此可以直接使用 [1, 40] 这 40 个数对 10 取余再加 1，就可以等概率的得到 [1, 10] 中的随机数，如果是 [41, 49] 则重新获取

解题代码一

var rand10 = function() {
    let num = (rand7() - 1) * 7 + rand7()
    while (num > 40){
        num = (rand7() - 1) * 7 + rand7()
    }
    return 1 + num % 10
};

优化

在上面我们将 [41, 49] 直接舍去了，其实 [41, 49] 也是等概率出现的，完全可以看成是 rand9，那么问题就变成了 用 Rand9() 实现 Rand10()，思路和 rand7 一样

var rand10 = function() {
    while(true) {
        let num = (rand7() - 1) * 7 + rand7()
        if (num <= 40) return 1 + num % 10
        // 如果是 [41, 49]，再次生成 [1, 63]
        num = (num - 40 - 1) * 7 + rand7()
        if (num <= 60) return 1 + num % 10
    }
};

上述优化之后舍弃了 [61, 63]，同理 用 Rand3() 实现 Rand10()

var rand10 = function() {
    while(true) {
        let num = (rand7()-1) * 7 + rand7()
        if (num <= 40) return 1 + num % 10
        // 如果是 [41, 49]，再次生成 [1, 63]
        num = (num - 40 - 1) * 7 + rand7()
        if (num <= 60) return 1 + num % 10
        // 如果是 [61, 63]，再次生成 [1, 21]
        num = (num - 60 - 1) * 7 + rand7()
        if (num <= 20) return 1 + num % 10
    }
};

解题思路二

思路一已经说明了用 Rand10() 实现 Rand7() 很简单，那么用 Rand7() 实现 Rand5() 和 Rand7() 实现 Rand2() 也很简单

rand5 会等概率生成 {1, 2, 3, 4, 5}，rand2 会等概率生成 {1, 2}，如果 rand2 生成 2 时，rand5() + 5，rand2 生成 1 时，rand5 不变，那么就等概率得到 [1, 10]，实现了 rand10

解题代码二

var rand10 = function() {
    let p = rand7(), q = rand7()
    // p 实现 rand5
    while (p > 5) p = rand7()
    while (q === 7) q = rand7()
    // q 大于 3 的概率是 1/2，可以看成 rand2
    return q > 3 ? p : p + 5
};