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斐波那契数列 leetcode-cn.com/problems/fe…

题解及分析

斐波那契数列

写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项（即F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

思路一：迭代+滚动数组
先上leetcode题解的图

斐波那契数列只关心最后两个数的相加和，因此可以用到滚动数组的思想
解法很直白，不做太多解释：

var fib = function(n) {
    const MOD = 1000000007
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    let p = 0
    let q = 0
    let r = 1
    for(let i = 2; i <= n; ++i) {
        p = q
        q = r
        r = (p + q) % MOD
    }
    return r
}

思路二：递归
斐波那契数列天然契合递归的理念

const MOD = 1000000007
var fib = function(n) {
    if(n < 2) return n
    return (fib(n-1)%MOD) + (fib(n-2)%MOD)
}

这么写并不能过编译，因为在递归到边界条件之前，执行的量很可能已经很大，早已经超出限制的编译时间
观察后不难发现，递归的过程会导致很多重复的计算，比如n = 5时：

fib(5)为fib(4)和fib(3)两个值之和
然后fib(4)又等于fib(3)和fib(2)两个值之和。
- *fib(3)*刚才已经求过了
另一个fib(3)即为fib(2)和fib(1)两个值之和
- *fib(2)*刚才也已经被求过了

对于这种重复的情景，我们可以用map来优化

const MOD = 1000000007
let map = new Map
let fib = n => {
    return newFib(n)
}
let newFib = function(n) {
    if(n < 2) return n
    if(map.has(n)) return map.get(n)
    let a = newFib(n-1) % MOD
    let b = newFib(n-2) % MOD
    let res = (a + b) % MOD
    map = new Map([...map, [n-1, a], [n-2, b], [n, res]])
    return res
}

(很抱歉不是科班出身，实在看不懂矩阵幂的解法，后面学会了补上)

动态规划专题一

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斐波那契数列