随机变量的常用特征

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基于分布律和分布函数 - 用一些数字特征来描述随机变量

1. 用来描述随机变量的数字特征有哪些？

   1. 期望 - 随机变量的平均水平 - E(X)
      X 所对应的随机试验重复多次，次数增加，X的均值趋于 E(X)
      离散型随机变量 - 每次可能的结果乘以其结果概率的总和
   2. 方差&标准差 - 波动大小 - 越大 - 未知性越大 - D(X) - 方差的离差/随机变量平方的均值-随机变量均值的平方 标准差 - 方差开方
      标准化变量【标准化处理】 - (X-μ)/σ
   3. 分位数 - 样本X在整体分布中的排序情况
      Pr(X <= t) = α - t称为X的α分位数
   4. 协方差&相关系数 - 两个或多个随机变量之间的关系 - 联合分布的概念 分布函数F(X,Y)在(x,y)处的函数值 - 这个随机点落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下方的无穷矩阵内的概率 - F(X,Y) = Pr(X <= x, Y <= y)
      独立变量 - F(X,Y),F(X),F(Y) - X,Y的联合分布及其各自分布
      若满足在任意点(x,y) - F(X,Y) = F(x)F(y) - X、Y是相互独立的变量
      协方差 - Cov(X,Y) = E(X-E(X))(Y-E(Y)) 相关系数ρ = Cov(X,Y)/σ(X)σ(Y)
      X,Y相互独立时 - 协方差、相关系数均为0
      线性关系 - 描述X、Y之间是否存在线性关系 - 相关系数绝对值趋于1 - 线性关系较强，趋于0 - 线性关系较弱

2. 随机变量X+Y，XY的期望与X、Y期望的关系?
   E(X+Y) = E(X) + E(Y) - X,Y没有任何约束
   X，Y相互独立时 - E(XY) = E(X)E(Y)
   但E(XY) = E(X)E(Y)时 - 只能表明X、Y是不相关的，不能表明X、Y是相互独立的

3. 分布的期望和中位数的大小关系？
   中位数 = 期望 - 正态
   中位数 < 期望 - 正偏态 - 左偏 中位数 > 期望 - 负偏态 - 右偏

4. 简述变量独立与变量不独立的区别
   不相关 - 没有线性关系 - 不排除其他关系
   独立 - 二者互不相干，没有关联
   变量不相关包含了变量独立

5. 常见分布的期望和方差是什么？
   离散型

连续型